Давайте решим задачи по шагам. Начнём с первой задачи, связанной с анализом данных о количестве израсходованного картофеля.
Задача 1
У нас есть данные о количестве картофеля, израсходованного Людой за 8 месяцев, в килограммах:
- Сентябрь: 7,3
- Ноябрь: 6,8
- Декабрь: 7,1
- Январь: 6,3
- Февраль: 9,2
- Март: 7,2
- Апрель: 6,8
Запишем все значения:
[ 7,3; 6,8; 7,1; 6,3; 9,2; 7,2; 6,8 ]
Теперь будем решать пункты а), б), в), г), д).
а) Среднее (арифметическое) количество израсходованного картофеля
Формула для нахождения среднего арифметического:
[
\text{Среднее} = \frac{\sum x_i}{n}
]
где (x_i) — каждое из значений, а (n) — общее количество значений.
Сначала вычисляем сумму всех значений:
[
7,3 + 6,8 + 7,1 + 6,3 + 9,2 + 7,2 + 6,8 = 50,7
]
Затем делим на количество значений:
[
n = 7
]
[
\text{Среднее} = \frac{50,7}{7} = 7,24
]
б) Медиана
Для нахождения медианы необходимо упорядочить данные:
[
6,3; 6,8; 6,8; 7,1; 7,2; 7,3; 9,2
]
Поскольку количество данных нечётное (7), медиана — это среднее значение:
[
\text{Медиана} = 7,2
]
в) Размах
Размах — это разница между максимальным и минимальным значением:
[
\text{Размах} = \text{max} - \text{min} = 9,2 - 6,3 = 2,9
]
г) Дисперсия
Дисперсия рассчитывается по формуле:
[
D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
]
где (\bar{x}) — среднее значение (7,24).
Сначала считаем отклонения от среднего:
[
(7,3 - 7,24)^2 = 0,0036
]
[
(6,8 - 7,24)^2 = 0,1936
]
[
(7,1 - 7,24)^2 = 0,0196
]
[
(6,3 - 7,24)^2 = 0,8836
]
[
(9,2 - 7,24)^2 = 3,8416
]
[
(7,2 - 7,24)^2 = 0,0016
]
[
(6,8 - 7,24)^2 = 0,1936
]
Суммируем эти отклонения:
[
D = \frac{0,0036 + 0,1936 + 0,0196 + 0,8836 + 3,8416 + 0,0016 + 0,1936}{7} = \frac{4,1332}{7} \approx 0,5904
]
д) Стандартное отклонение
Стандартное отклонение — это корень квадратный из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D} \approx \sqrt{0,5904} \approx 0,768
]
Задача 2
Неправильная игральная кость:
- Вероятность 1 очко: (P(1) = p_1)
- Вероятность 2 очка: (P(2) = p_2)
- Вероятность 3 очка: (P(3) = p_3)
- Вероятность 4 очка: (P(4) = p_4)
- Вероятность 5 очка: (P(5) = p_5)
Сумма вероятностей равна 1:
[
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1
]
Где вероятности могут быть даны как:
- (p_1 = 0.1)
- (p_2 = 0.2)
- (p_3 = 0.3)
- (p_4 = 0.4)
- (p_5) остается найти.
Это должно быть равно 1:
[
p_5 = 1 - (0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4) = 1 - 1 = 0.
]
В этой конфигурации 5 очков выбрать нельзя, значит вероятность выпада 5 очков = 0.
Задача 3
Вероятность того, что новый миксер прослужит меньше 3 лет, но не менее 1 года:
Обозначим:
- (P(T > 1) = 0.98)
- (P(T > 3) = 0.82)
Вероятность, что он прослужит от 1 до 3 лет:
[
P(1 < T < 3) = P(T > 1) - P(T > 3) = 0.98 - 0.82 = 0.16
]
Задача 4
Найдём (P(A \cap B)) при помощи формулы:
[
P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)
]
Подставим известные значения:
[
P(A \cap B) = 0.62 \cdot 0.45 = 0.279
]
Ответы
1.
а) Среднее = 7,24;
б) Медиана = 7,2;
в) Размах = 2,9;
г) Дисперсия = 0,5904;
д) Стандартное отклонение ≈ 0,768.
Вероятность выбросить 5 очков = 0.
Вероятность, что миксер прослужит от 1 до 3 лет = 0,16.
(P(A \cap B) = 0.279.)
