Шарик бросили вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью 20 м/с. Найдите отношение средней скорости движения за первую половину времени подъёма шарика к средней скорости…
Шарик бросили вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью 20 м/с. Найдите отношение средней скорости движения за первую половину времени подъёма шарика к средней скорости движения за вторую половину времени подъёма шарика. Ускорение свободного падения примите равным g = 9,81 м/с2. Результат округлите до целых.
Для того чтобы решить поставленную задачу, давайте сначала вспомним, что такое средняя скорость и как её вычислять в контексте вертикального движения.
Определения и формулы
Средняя скорость передвижения во время какого-либо интервала времени определяется как общий путь, деленный на общее время:
\[ v_{ср} = \frac{S}{t} \]
где \( v_{ср} \) — средняя скорость, \( S \) — пройденный путь, \( t \) — время.
Когда шарик бросают вверх с начальной скоростью \( V_0 \), он будет двигаться вверх, пока не достигнет максимальной высоты, а затем начнет падать вниз.
Ускорение свободного падения \( g \) считается отрицательным для движения вверх, так как оно направлено вниз. Таким образом, уравнение движения можно представить в виде:
\[ h = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
Здесь \( h \) — высота над начальным уровнем.
Шаг 1: Нахождение времени подъема
Шарик остановится, когда его скорость станет равной нулю. Скорость в любой момент времени можно вычислить по формуле:
\[ V = V_0 - g t \]
Приравниваем скорость к нулю для нахождения времени:
\[ 0 = 20 - 9.81 t \] \[ 9.81 t = 20 \] \[ t = \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \text{ секунд} \]
Это время подъёма шарика до максимальной высоты.
Шаг 2: Нахождение высоты
Теперь найдем максимальную высоту:
\[ h = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \] Подставляем \( t \):
\[ h = 20 \cdot 2.04 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (2.04)^2 \] \[ h = 40.8 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 4.16 \approx 40.8 - 20.42 \approx 20.38 \text{ метра} \]
Шаг 3: Нахождение средней скорости
- Первая половина времени: будет 1.02 секунды (половина от 2.04 секунд).
- Вторая половина времени: также 1.02 секунды.
Средняя скорость за первую половину подъема:
Для первой половины временем 1.02 секунды находим, какую высоту шарик в это время проходит. Калкулируем:
\[ h_1 = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \cdot 1.02 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (1.02)^2 \] \[ h_1 = 20.4 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.04 \approx 20.4 - 5.10 \approx 15.30 \text{ метра} \]
Теперь средняя скорость:
\[ v_{ср1} = \frac{h_1}{t_1} = \frac{15.30}{1.02} \approx 15.00 \text{ м/с} \]
Средняя скорость за вторую половину подъема:
Во второй половине подъема шарик проходит от высоты \( 15.30 \) до максимальной высоты \( 20.38 \) метров:
\[ h_2 = h - h_1 = 20.38 - 15.30 = 5.08 \text{ метра} \]
Средняя скорость во второй половине:
\[ v_{ср2} = \frac{h_2}{t_2} = \frac{5.08}{1.02} \approx 4.98 \text{ м/с} \]
Шаг 4: Отношение средних скоростей
Теперь найдем отношение средней скорости первой половины к средней скорости второй половины:
\[ \text{отношение} = \frac{v_{ср1}}{v_{ср2}} = \frac{15.00}{4.98} \approx 3.01 \approx 3 \]
Ответ
Отношение средней скорости движения за первую половину времени подъема шарика к средней скорости движения за вторую половину времени подъема шарика примерно равно 3.
