Для того чтобы решить поставленную задачу, давайте сначала вспомним, что такое средняя скорость и как её вычислять в контексте вертикального движения.
Определения и формулы
Средняя скорость передвижения во время какого-либо интервала времени определяется как общий путь, деленный на общее время:
[
v_{ср} = \frac{S}{t}
]
где ( v_{ср} ) — средняя скорость, ( S ) — пройденный путь, ( t ) — время.
Когда шарик бросают вверх с начальной скоростью ( V_0 ), он будет двигаться вверх, пока не достигнет максимальной высоты, а затем начнет падать вниз.
Ускорение свободного падения ( g ) считается отрицательным для движения вверх, так как оно направлено вниз. Таким образом, уравнение движения можно представить в виде:
[
h = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2
]
Здесь ( h ) — высота над начальным уровнем.
Шаг 1: Нахождение времени подъема
Шарик остановится, когда его скорость станет равной нулю. Скорость в любой момент времени можно вычислить по формуле:
[
V = V_0 - g t
]
Приравниваем скорость к нулю для нахождения времени:
[
0 = 20 - 9.81 t
]
[
9.81 t = 20
]
[
t = \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \text{ секунд}
]
Это время подъёма шарика до максимальной высоты.
Шаг 2: Нахождение высоты
Теперь найдем максимальную высоту:
[
h = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2
]
Подставляем ( t ):
[
h = 20 \cdot 2.04 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (2.04)^2
]
[
h = 40.8 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 4.16 \approx 40.8 - 20.42 \approx 20.38 \text{ метра}
]
Шаг 3: Нахождение средней скорости
- Первая половина времени: будет 1.02 секунды (половина от 2.04 секунд).
- Вторая половина времени: также 1.02 секунды.
Средняя скорость за первую половину подъема:
Для первой половины временем 1.02 секунды находим, какую высоту шарик в это время проходит. Калкулируем:
[
h_1 = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \cdot 1.02 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (1.02)^2
]
[
h_1 = 20.4 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.04 \approx 20.4 - 5.10 \approx 15.30 \text{ метра}
]
Теперь средняя скорость:
[
v_{ср1} = \frac{h_1}{t_1} = \frac{15.30}{1.02} \approx 15.00 \text{ м/с}
]
Средняя скорость за вторую половину подъема:
Во второй половине подъема шарик проходит от высоты ( 15.30 ) до максимальной высоты ( 20.38 ) метров:
[
h_2 = h - h_1 = 20.38 - 15.30 = 5.08 \text{ метра}
]
Средняя скорость во второй половине:
[
v_{ср2} = \frac{h_2}{t_2} = \frac{5.08}{1.02} \approx 4.98 \text{ м/с}
]
Шаг 4: Отношение средних скоростей
Теперь найдем отношение средней скорости первой половины к средней скорости второй половины:
[
\text{отношение} = \frac{v_{ср1}}{v_{ср2}} = \frac{15.00}{4.98} \approx 3.01 \approx 3
]
Ответ
Отношение средней скорости движения за первую половину времени подъема шарика к средней скорости движения за вторую половину времени подъема шарика примерно равно 3.
