В первую смену в лагере «Дубки» отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. При этом 10 человек были и отличниками, и победителями олимпиад, 5 — отличниками…

Для решения этой задачи используем принцип включения-исключения, который помогает определить количество элементов в объединении нескольких множеств, учитывая пересечения между ними.

Обозначим:

• \( O \) — множество отличников (30 человек)
• \( P \) — множество победителей олимпиад (28 человек)
• \( S \) — множество спортсменов (42 человека)

Также у нас есть данные по пересечениям:

• \( |O \cap P| = 10 \) (10 человек были и отличниками, и победителями олимпиад)
• \( |O \cap S| = 5 \) (5 человек были и отличниками, и спортсменами)
• \( |P \cap S| = 8 \) (8 человек были и спортсменами, и победителями олимпиад)
• \( |O \cap P \cap S| = 3 \) (3 человека были и отличниками, и спортсменами, и победителями олимпиад)

Теперь мы можем использовать формулу для подсчета количества уникальных участников в лагере:

\[ |O \cup P \cup S| = |O| + |P| + |S| - |O \cap P| - |O \cap S| - |P \cap S| + |O \cap P \cap S| \]

Теперь подставим известные значения:

\[ |O \cup P \cup S| = 30 + 28 + 42 - 10 - 5 - 8 + 3 \]

Сначала суммируем количество отличников, победителей олимпиад и спортсменов:

\[ 30 + 28 + 42 = 100 \]

Теперь вычтем пересечения:

\[ 100 - 10 - 5 - 8 = 77 \]

И добавим тех, кто был во всех трех группах:

\[ 77 + 3 = 80 \]

Итак, количество уникальных участников, которые отдыхали в лагере «Дубки», составляет 80 человек.