Найдите разность и формулу n-го члена арифметической прогрессии заданной рекуррентным способом a1= 7, ak+1 = ak +3

Давайте решим задачу шаг за шагом и поймем, как работает арифметическая прогрессия, заданная рекуррентным способом.

Шаг 1: Понимание заданных данных

Мы имеем:

• Первое значение (a1) прогрессии равно 7.
• Рекуррентное соотношение: \( a_{k+1} = a_k + 3 \).

Это значит, что для нахождения следующего члена прогрессии мы должны к предыдущему члену (a_k) прибавить 3.

Шаг 2: Поиск первых членов прогрессии

Давайте найдем несколько первых членов этой прогрессии:

• \( a_1 = 7 \)
• \( a_2 = a_1 + 3 = 7 + 3 = 10 \)
• \( a_3 = a_2 + 3 = 10 + 3 = 13 \)
• \( a_4 = a_3 + 3 = 13 + 3 = 16 \)
• \( a_5 = a_4 + 3 = 16 + 3 = 19 \)

Таким образом, первые несколько членов получаются: 7, 10, 13, 16, 19.

Шаг 3: Определение разности прогрессии

Мы заметили, что каждый следующий член отличается от предыдущего на 3. Это и есть разность (d) арифметической прогрессии, которая обозначается как: \[ d = 3 \]

Шаг 4: Формула n-го члена арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии (a_n) определяется как: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Теперь подставим известные значения в формулу:

• \( a_1 = 7 \)
• \( d = 3 \)

Получаем: \[ a_n = 7 + (n - 1) \cdot 3 \]

Шаг 5: Упрощение формулы

Упрощаем выражение: \[ a_n = 7 + 3(n - 1) = 7 + 3n - 3 = 3n + 4 \]

Итог

Мы нашли:

• Разность арифметической прогрессии: \( d = 3 \)
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = 3n + 4 \)

Это значит, что для любого натурального n мы можем найти соответствующий член арифметической прогрессии, используя указанную формулу.