Чтобы решить задачу, начнем с того, что известно, что зависимость поступления налогов ( P ) от ставки налога ( x ) можно описать как квадратичная функция. Т.е., мы можем записать:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
где ( a ), ( b ), и ( c ) — некоторые коэффициенты.
У нас есть следующие данные:
- При ( x = 10% ), ( P(10) = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 33% ), ( P(33) = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 27% ), ( P(27) = 1.6 ) млрд фантиков.
Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение.
1. Составим систему уравнений
Подставим каждую из данных налоговых ставок в уравнение:
Для ( x = 10 ):
[
a(10^2) + b(10) + c = 1.3
]
[
100a + 10b + c = 1.3 \quad \text{(1)}
]
Для ( x = 33 ):
[
a(33^2) + b(33) + c = 1.3
]
[
1089a + 33b + c = 1.3 \quad \text{(2)}
]
Для ( x = 27 ):
[
a(27^2) + b(27) + c = 1.6
]
[
729a + 27b + c = 1.6 \quad \text{(3)}
]
У нас есть три уравнения и три неизвестных (коэффициента ( a ), ( b ), и ( c )).
2. Найдем значения коэффициентов
Теперь можно избавиться от ( c ) путем вычитания уравнений. Из (1) вычтем (2):
[
(100a + 10b + c) - (1089a + 33b + c) = 1.3 - 1.3
]
[
-989a - 23b = 0 \quad \text{(4)}
]
Теперь вычтем (1) из (3):
[
(729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3
]
[
629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- ( -989a - 23b = 0 )
- ( 629a + 17b = 0.3 )
Из уравнения (4) выразим ( b ):
[
b = -\frac{989}{23}a
]
3. Подставляем ( b ) в (5)
Подставляем ( b ) в (5):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3
]
Умножим на 23, чтобы убрать дроби:
[
14467a - 16703a = 6.9
]
[
-2236a = 6.9 \Rightarrow a \approx -0.00309
]
Теперь подставим значение ( a ) обратно в выражение для ( b ):
[
b = -\frac{989}{23}(-0.00309) \approx 0.0425
]
Теперь можно взять одно из уравнений (например, (1)) и найти ( c ). Подставьте ( a ) и ( b ) в (1):
[
100(-0.00309) + 10(0.0425) + c = 1.3
]
[
-0.309 + 0.425 + c = 1.3
]
[
c = 1.3 - 0.116 \approx 1.416
]
4. Параметры функции и нахождение максимума
Теперь у нас есть коэффициенты функции:
[
P(x) = -0.00309x^2 + 0.0425x + 1.416
]
Для нахождения максимума квадратичной функции ( ax^2 + bx + c ), используем формулу:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.0425}{2 \cdot -0.00309} \approx 6.89
]
То есть, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 27%.
Ответ: 27%
