Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить задачу, начнем с того, что известно, что зависимость поступления налогов \( P \) от ставки налога \( x \) можно описать как квадратичная функция. Т.е., мы можем записать:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \), и \( c \) — некоторые коэффициенты.
У нас есть следующие данные:
- При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков.
Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение.
1. Составим систему уравнений
Подставим каждую из данных налоговых ставок в уравнение:
Для \( x = 10 \):
\[ a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \]
\[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad \text{(1)} \]Для \( x = 33 \):
\[ a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \]
\[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad \text{(2)} \]Для \( x = 27 \):
\[ a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \]
\[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad \text{(3)} \]
У нас есть три уравнения и три неизвестных (коэффициента \( a \), \( b \), и \( c \)).
2. Найдем значения коэффициентов
Теперь можно избавиться от \( c \) путем вычитания уравнений. Из (1) вычтем (2):
\[ (100a + 10b + c) - (1089a + 33b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ -989a - 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
Теперь вычтем (1) из (3):
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- \( -989a - 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из уравнения (4) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
3. Подставляем \( b \) в (5)
Подставляем \( b \) в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \]
Умножим на 23, чтобы убрать дроби:
\[ 14467a - 16703a = 6.9 \] \[ -2236a = 6.9 \Rightarrow a \approx -0.00309 \]
Теперь подставим значение \( a \) обратно в выражение для \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}(-0.00309) \approx 0.0425 \]
Теперь можно взять одно из уравнений (например, (1)) и найти \( c \). Подставьте \( a \) и \( b \) в (1):
\[ 100(-0.00309) + 10(0.0425) + c = 1.3 \] \[ -0.309 + 0.425 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 0.116 \approx 1.416 \]
4. Параметры функции и нахождение максимума
Теперь у нас есть коэффициенты функции:
\[ P(x) = -0.00309x^2 + 0.0425x + 1.416 \]
Для нахождения максимума квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \), используем формулу:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.0425}{2 \cdot -0.00309} \approx 6.89 \]
То есть, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 27%.
Ответ: 27%
