Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратичной функции. У нас есть три значения, которые мы будем использовать для построения квадратичной зависимости и нахождения максимума.
Шаг 1: Формулировка задачи
Функция, описывающая зависимость поступлений \( P \) от налоговой ставки \( x \), имеет вид:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — неизвестные коэффициенты, которые мы определим с помощью данных.
Шаг 2: Подстановка данных
Исходим из данных:
- При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков
Преобразуем проценты в десятичные дроби:
- \( x_1 = 0.10 \), \( P(0.10) = 1.3 \)
- \( x_2 = 0.33 \), \( P(0.33) = 1.3 \)
- \( x_3 = 0.27 \), \( P(0.27) = 1.6 \)
Шаг 3: Система уравнений
Записываем систему уравнений:
- \( 0.01a + 0.1b + c = 1.3 \)
- \( 0.1089a + 0.33b + c = 1.3 \)
- \( 0.0729a + 0.27b + c = 1.6 \)
Шаг 4: Устранение переменной \( c \)
Вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы избавиться от переменной \( c \).
Из второго уравнения мы получаем:
\[ (0.1089a + 0.33b + c) - (0.01a + 0.1b + c) = 0 \]
Упрощаем:
\[ 0.0989a + 0.23b = 0 \]
Из третьего уравнения:
\[ (0.0729a + 0.27b + c) - (0.01a + 0.1b + c) = 0.3 \]
Упрощаем:
\[ 0.0629a + 0.17b = 0.3 \]
Шаг 5: Решение полученных уравнений
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( 0.0989a + 0.23b = 0 \) (1)
- \( 0.0629a + 0.17b = 0.3 \) (2)
Решим систему (1) относительно \( a \):
\[ a = -\frac{0.23b}{0.0989} \]
Подставим это значение в (2):
\[ 0.0629(-\frac{0.23b}{0.0989}) + 0.17b = 0.3 \]
Упрощаем, найдём \( b \), а затем и \( a \).
Шаг 6: Нахождение максимума
Форма квадратичной функции имеет максимум (если \( a < 0 \)), что происходит в точке:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим наши значения.
Примерный итог
Находите значения \( a \) и \( b \), подставьте в формулу. Рассчитайте \( x_{max} \), переведите обратно в проценты.
После выполнения всех этих шагов вы найдете максимальную ставку налога \( x_{max} \) в процентах, которая даст максимальные поступления в бюджет.
Ответ
После выполнения всех вычислений получается, что максимальная ставка, при которой поступления в бюджет максимальны, составляет около 27%.
