Давайте разберем задачу шаг за шагом и найдем отношение средних скоростей за две половины времени подъема шарика.
Дано:
- Начальная скорость ( v_0 = 20 , \text{м/c} )
- Ускорение свободного падения ( g = 9,81 , \text{м/c}^2 )
1. Найдем время подъема шарика до максимальной высоты.
Максимальная высота достигается, когда скорость становится равной нулю. Используем уравнение движения с постоянным ускорением:
[
v = v_0 - g t
]
Где:
- ( v ) — конечная скорость,
- ( t ) — время.
Когда шарик достигает максимальной высоты, ( v = 0 ):
[
0 = 20 - 9,81 t
]
Решаем это уравнение для ( t ):
[
9,81 t = 20
]
[
t = \frac{20}{9,81} \approx 2,04 , \text{с}
]
Это время подъема до максимальной высоты.
2. Средняя скорость в первую и вторую половину времени подъема.
Общее время подъема составляет примерно ( 2,04 ) с. Первая половина времени — от ( 0 ) до ( 1,02 ) с, а вторая половина — от ( 1,02 ) до ( 2,04 ) с.
a) Средняя скорость в первую половину подъема.
Для первой половины времени (от ( 0 ) до ( 1,02 ) с) средняя скорость можно найти через пройденное расстояние:
Находим высоту, достигнутую за первую половину времени. Используем уравнение движения:
[
h_1 = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
]
Подставим в уравнение:
[
h_1 = 20 \cdot 1,02 - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot (1,02)^2
]
Считаем:
[
h_1 = 20 \cdot 1,02 - 0,5 \cdot 9,81 \cdot 1,0404 \approx 20.4 - 5.1 \approx 15.3 , \text{м}
]
Теперь вычислим среднюю скорость за первую половину:
[
v_{\text{ср, 1}} = \frac{h_1}{t_1} = \frac{15.3}{1.02} \approx 15.0 , \text{м/c}
]
b) Средняя скорость во вторую половину подъема.
Вторая половина времени (от ( 1,02 ) до ( 2,04 ) с) — верхняя часть траектории, где скорости уменьшаются. Для расчета высоты за вторую половину времени удобно воспользоваться общим уравнением:
Находим полную высоту ( h ) на максимуме:
[
h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
]
Подставляем полное время:
[
h = 20 \cdot 2,04 - 0,5 \cdot 9,81 \cdot (2,04)^2 \approx 40.8 - 20.4 \approx 20.4 , \text{м}
]
Зная, что полный подъём составляет ( 20.4 , \text{м} ) и ( h_1 ) уже рассчитаны:
[
h_2 = h - h_1 = 20.4 - 15.3 \approx 5.1 , \text{м}
]
Теперь находим среднюю скорость во вторую половину:
[
v_{\text{ср, 2}} = \frac{h_2}{t_2} = \frac{5.1}{1.02} \approx 5.0 , \text{м/c}
]
3. Найдем отношение средних скоростей.
Теперь можем найти отношение:
[
\text{Отношение} = \frac{v_{\text{ср, 1}}}{v_{\text{ср, 2}}} = \frac{15.0}{5.0} = 3
]
Ответ:
Отношение средней скорости движения за первую половину времени подъема к средней скорости за вторую половину времени подъема равно ( 3 ).
