Тело движется по закону s(t)=t^3+3t^2+1 (м) найти скорость и ускорение тела в момент t0=6 с

Для решения этой задачи нам необходимо найти скорость и ускорение тела в момент времени \( t_0 = 6 \) секунд, используя закон движения \( s(t) = t^3 + 3t^2 + 1 \). ### Шаг 1: Находим скорость Скорость \( v(t) \) определяется как производная функции перемещения \( s(t) \) по времени \( t \). То есть: \[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \] Теперь найдем производную: 1. \( s(t) = t^3 + 3t^2 + 1 \) 2. Производная каждого из членов: - Производная от \( t^3 \) равна \( 3t^2 \) - Производная от \( 3t^2 \) равна \( 6t \) - Производная от константы \( 1 \) равна \( 0 \) Таким образом, получаем: \[ v(t) = 3t^2 + 6t \] Теперь подставим \( t = 6 \): \[ v(6) = 3(6^2) + 6(6) \] \[ = 3(36) + 36 \] \[ = 108 + 36 = 144 \text{ м/с} \] ### Шаг 2: Находим ускорение Ускорение \( a(t) \) определяется как производная скорости \( v(t) \) по времени \( t \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Теперь найдем производную от скорости: 1. \( v(t) = 3t^2 + 6t \) 2. Производная каждого из членов: - Производная от \( 3t^2 \) равна \( 6t \) - Производная от \( 6t \) равна \( 6 \) Таким образом, получаем: \[ a(t) = 6t + 6 \] Теперь подставим \( t = 6 \): \[ a(6) = 6(6) + 6 \] \[ = 36 + 6 = 42 \text{ м/с}^2 \] ### Итог: Таким образом, получаем, что в момент времени \( t_0 = 6 \) секунд скорость тела равна \( 144 \) м/с, а ускорение \( 42 \) м/с².