тело движется по закону s(t)=t^3+3t^2+1 (м) найти скорость и ускорение тела в момент t0=6 с
Для решения этой задачи нам необходимо найти скорость и ускорение тела в момент времени \( t_0 = 6 \) секунд, используя закон движения \( s(t) = t^3 + 3t^2 + 1 \).
Шаг 1: Находим скорость
Скорость \( v(t) \) определяется как производная функции перемещения \( s(t) \) по времени \( t \). То есть:
\[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \]
Теперь найдем производную:
- \( s(t) = t^3 + 3t^2 + 1 \)
- Производная каждого из членов:
- Производная от \( t^3 \) равна \( 3t^2 \)
- Производная от \( 3t^2 \) равна \( 6t \)
- Производная от константы \( 1 \) равна \( 0 \)
Таким образом, получаем:
\[ v(t) = 3t^2 + 6t \]
Теперь подставим \( t = 6 \):
\[ v(6) = 3(6^2) + 6(6) \] \[ = 3(36) + 36 \] \[ = 108 + 36 = 144 \text{ м/с} \]
Шаг 2: Находим ускорение
Ускорение \( a(t) \) определяется как производная скорости \( v(t) \) по времени \( t \):
\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \]
Теперь найдем производную от скорости:
- \( v(t) = 3t^2 + 6t \)
- Производная каждого из членов:
- Производная от \( 3t^2 \) равна \( 6t \)
- Производная от \( 6t \) равна \( 6 \)
Таким образом, получаем:
\[ a(t) = 6t + 6 \]
Теперь подставим \( t = 6 \):
\[ a(6) = 6(6) + 6 \] \[ = 36 + 6 = 42 \text{ м/с}^2 \]
Итог:
Таким образом, получаем, что в момент времени \( t_0 = 6 \) секунд скорость тела равна \( 144 \) м/с, а ускорение \( 42 \) м/с².
