радиус шара, описанного около куба равен 3. найдите площадь поверхности Куба

Чтобы найти площадь поверхности куба, окружённого сферой с известным радиусом, начнём с понимания взаимосвязи между радиусом сферы и размером куба.

1. Радиус сферы: Мы знаем, что радиус сферы R равен 3. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой точки её поверхности равно 3.

2. Куб и его вписанная сфера: Сфера, описанная вокруг куба, касается его всех восьми вершин. Если обозначить длину ребра куба через a, то радиус сферы R можно выразить через a.

3. Вычисление радиуса: Радиус сферы, описанной около куба, равен половине диагонали куба, проходящей через его центр. Диагональ куба D можно найти по формуле: \[ D = a\sqrt{3} \] где a — длина ребра куба.

   Поскольку радиус сферы равен половине диагонали, мы можем записать: \[ R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

4. Подстановка значения радиуса: У нас есть значение радиуса, равное 3: \[ 3 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 6 = a\sqrt{3} \] Теперь разделим обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[ a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \]

5. Площадь поверхности куба: Площадь поверхности куба S рассчитывается по формуле: \[ S = 6a^2 \] Теперь подставим значение a: \[ S = 6(2\sqrt{3})^2 \]

6. Вычисление площади: \[ S = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 6 \cdot 12 = 72 \]

Таким образом, площадь поверхности куба равна \(72\).

Ответ: Площадь поверхности куба равна 72.