Для нахождения функции ( y = ax^2 + bx + c ), прошедшей через данные точки ( A(1, 4) ), ( B(-1, 10) ) и ( C(2, 7) ), мы можем подставить координаты этих точек в уравнение функции. Это позволит нам составить систему уравнений и найти коэффициенты ( a ), ( b ) и ( c ).
Шаг 1: Подстановка значений
Для точки ( A(1, 4) ):
[
4 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 4 = a + b + c \quad (1)
]
Для точки ( B(-1, 10) ):
[
10 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies 10 = a - b + c \quad (2)
]
Для точки ( C(2, 7) ):
[
7 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 7 = 4a + 2b + c \quad (3)
]
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- ( a + b + c = 4 ) (уравнение 1)
- ( a - b + c = 10 ) (уравнение 2)
- ( 4a + 2b + c = 7 ) (уравнение 3)
Шаг 2: Решение системы уравнений
Решим систему уравнений, начиная с первых двух уравнений. Из первого уравнения выразим ( c ):
[
c = 4 - a - b \quad (4)
]
Теперь подставим выражение для ( c ) из (4) во второе уравнение:
[
a - b + (4 - a - b) = 10
]
[
4 - 2b = 10
]
[
-2b = 10 - 4
]
[
-2b = 6 \implies b = -3
]
Теперь, подставим значение ( b = -3 ) в уравнение (4), чтобы найти ( c ):
[
c = 4 - a - (-3) = 4 - a + 3 = 7 - a \quad (5)
]
Теперь подставим ( b ) и ( c ) в третье уравнение (3):
[
4a + 2(-3) + (7 - a) = 7
]
[
4a - 6 + 7 - a = 7
]
[
3a + 1 = 7
]
[
3a = 6 \implies a = 2
]
Теперь, когда мы нашли ( a ), можем найти ( c ) из уравнения (5):
[
c = 7 - 2 = 5
]
И у нас есть значение ( b ):
[
b = -3
]
Шаг 3: Итоговое решение
Таким образом, мы нашли коэффициенты:
- ( a = 2 )
- ( b = -3 )
- ( c = 5 )
Теперь можем записать окончательную функцию:
[
y = 2x^2 - 3x + 5
]
Заключение
Мы нашли функцию, проходящую через заданные точки. Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобраться в других аспектах, дайте знать!
