найдите функцию y=ax²+bx+c; если известно что график ее проходит через точки А(1;4); В(-1;10); С(2;7);
Для нахождения функции \( y = ax^2 + bx + c \), прошедшей через данные точки \( A(1, 4) \), \( B(-1, 10) \) и \( C(2, 7) \), мы можем подставить координаты этих точек в уравнение функции. Это позволит нам составить систему уравнений и найти коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 1: Подстановка значений
Для точки \( A(1, 4) \): \[ 4 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 4 = a + b + c \quad (1) \]
Для точки \( B(-1, 10) \): \[ 10 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies 10 = a - b + c \quad (2) \]
Для точки \( C(2, 7) \): \[ 7 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 7 = 4a + 2b + c \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( a + b + c = 4 \) (уравнение 1)
- \( a - b + c = 10 \) (уравнение 2)
- \( 4a + 2b + c = 7 \) (уравнение 3)
Шаг 2: Решение системы уравнений
Решим систему уравнений, начиная с первых двух уравнений. Из первого уравнения выразим \( c \): \[ c = 4 - a - b \quad (4) \]
Теперь подставим выражение для \( c \) из (4) во второе уравнение: \[ a - b + (4 - a - b) = 10 \] \[ 4 - 2b = 10 \] \[ -2b = 10 - 4 \] \[ -2b = 6 \implies b = -3 \]
Теперь, подставим значение \( b = -3 \) в уравнение (4), чтобы найти \( c \): \[ c = 4 - a - (-3) = 4 - a + 3 = 7 - a \quad (5) \]
Теперь подставим \( b \) и \( c \) в третье уравнение (3): \[ 4a + 2(-3) + (7 - a) = 7 \] \[ 4a - 6 + 7 - a = 7 \] \[ 3a + 1 = 7 \] \[ 3a = 6 \implies a = 2 \]
Теперь, когда мы нашли \( a \), можем найти \( c \) из уравнения (5): \[ c = 7 - 2 = 5 \]
И у нас есть значение \( b \): \[ b = -3 \]
Шаг 3: Итоговое решение
Таким образом, мы нашли коэффициенты:
- \( a = 2 \)
- \( b = -3 \)
- \( c = 5 \)
Теперь можем записать окончательную функцию: \[ y = 2x^2 - 3x + 5 \]
Заключение
Мы нашли функцию, проходящую через заданные точки. Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобраться в других аспектах, дайте знать!
