Для решения задачи о прямоугольном треугольнике возьмём за основание и свои обозначения. Пусть:
- Треугольник ( ABC ) является прямоугольным, где угол ( C ) — это прямой угол.
- Сторона ( AB ) — это гипотенуза, а стороны ( AC ) и ( BC ) — катеты.
Дано:
- Сторона ( AB = 5 )
- ( \cos B = \frac{1}{2} )
Шаг 1: Найдем угол ( B )
Зная, что ( \cos B = \frac{1}{2} ), мы можем заключить, что угол ( B ) равен ( 60^\circ ) (или ( \frac{\pi}{3} ) радиан), поскольку это значение соответствует известным углам тригонометрии.
Шаг 2: Применим косинус для нахождения стороны ( AC )
Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому:
[
\cos B = \frac{AC}{AB}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{1}{2} = \frac{AC}{5}
]
Теперь найдём ( AC ):
[
AC = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5
]
Шаг 3: Найдем сторону ( BC )
Теперь, зная ( AC ) и гипотенузу ( AB ), используем теорему Пифагора для нахождения стороны ( BC ):
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения в уравнение:
[
5^2 = 2.5^2 + BC^2
]
Выражаем это уравнение:
[
25 = 6.25 + BC^2
]
Теперь решим для ( BC^2 ):
[
BC^2 = 25 - 6.25
]
[
BC^2 = 18.75
]
Теперь найдём ( BC ) путем извлечения квадратного корня:
[
BC = \sqrt{18.75}
]
Спрощаем корень:
[
BC = \sqrt{18.75} \approx 4.33
]
Ответ: Сторона ( BC \approx 4.33 ) (можно оставить в виде (\sqrt{18.75}) для точности).
Таким образом, мы нашли сторону ( BC ) в прямоугольном треугольнике. Если есть еще вопросы или нужно разобраться с другими аспектами, не стесняйтесь спрашивать!
