Чтобы вычислить скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ), можно воспользоваться формулой:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(\theta)
]
где:
- ( |\mathbf{m}| ) и ( |\mathbf{n}| ) — длины (модули) векторов,
- ( \theta ) — угол между векторами,
- ( \cos(\theta) ) — косинус угла.
Дано:
- ( |\mathbf{m}| = 3 ),
- ( |\mathbf{n}| = 4 ),
- ( \theta = 135^\circ ).
Теперь подставим известные значения в формулу.
Сначала найдем значение ( \cos(135^\circ) ). Угол 135° находится во втором квадранте, и его косинус отрицательный:
[
\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Теперь подставляем все значения в формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(135^\circ) = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
]
Теперь умножим числители и произведем вычисления:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 12 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\sqrt{2}
]
Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) равно:
[
\boxed{-6\sqrt{2}}
]
Это значение отрицательное, что означает, что векторы имеют острый угол между ними, так как 135° — это больше 90°, а значит они направлены в разные стороны.
