Для решения задачи обозначим возраст сестры сейчас как ( x ) лет, а возраст брата — как ( y ) лет. Давайте разберем условие и составим необходимые уравнения.
Анализ задачи
Текущее соотношение возрастов:
- В данный момент у нас есть информация, что брату "сейчас в 4 раза больше лет, чем было сестре, когда она была моложе брата в 2 раза". Попробуем понять это предложение:
- Пусть возраст сестры в тот момент был ( x - k ), где ( k ) — это количество лет назад, когда сестра была моложе брата в 2 раза.
- В тот момент возраст брата был ( y - k ).
Согласно условию, получается:
[
y = 4(x - k)
]
Теперь определим ( k ). Когда сестра была моложе брата в 2 раза, это означает, что её возраст (так как она была младше) составлял половину возраста брата:
[
x - k = \frac{1}{2}(y - k) \tag{1}
]
Сумма возрастов через 15 лет:
Через 15 лет сестре и брату вместе будет 100 лет:
[
(x + 15) + (y + 15) = 100
]
Упростим это уравнение:
[
x + y + 30 = 100
]
Следовательно, получаем:
[
x + y = 70 \tag{2}
]
Решение
Теперь мы имеем два уравнения (1) и (2), которые нужно решить.
Из уравнения (2):
[
y = 70 - x
]
Подставляем значение ( y ) в уравнение (1):
Подставляем ( y ) в уравнение (1):
[
x - k = \frac{1}{2}((70 - x) - k)
]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
2(x - k) = 70 - x - k
]
Раскроем скобки:
[
2x - 2k = 70 - x - k
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
2x + x - 2k + k = 70 \implies 3x - k = 70 \tag{3}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (2) и (3):
- ( x + y = 70 )
- ( 3x - k = 70 )
Решение системы
Так как значение ( k ) (сколько лет назад было то событие) нам не нужно, мы можем выразить его через ( x ):
[
k = 3x - 70
]
Теперь подставим ( y ) из уравнения (2) в (1):
[
y = 70 - x
]
Теперь, чтобы найти значение ( x ) и ( y ), давайте сделаем предположение о возрасте. Поскольку это простая школьная задача, можно подобрать возраст.
При подборе, например:
- Если ( x = 25 ), тогда ( y = 70 - 25 = 45 ):
- Проверим, брату 45 лет, а сестре 25.
- Когда сестре было 15 (это 10 лет назад), брату было 35 (так и есть).
- Когда добавляем, через 15 лет:
- ( 25 + 15 = 40 ), ( 45 + 15 = 60 ) и сумма ( 40 + 60 = 100 ).
Подходит!
Ответ
Сестре сейчас 25 лет, брату — 45 лет.
