Дана геометрическая прогрессия: ... ; − 93 −93 ; x x ; − 13392 −13392 ; ... Найди значение пропущенного члена, если известно, что q > 0 q>0 .
Давайте решили задачу о нахождении пропущенного члена в геометрической прогрессии. В этой задаче даны три члена прогрессии: \(-93\), \(x\) (недостающий член), и \(-13392\). Кроме того, известно, что знаменатель прогрессии \(q > 0\).
Шаг 1: Понятие геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как \(q\)).
Формула геометрической прогрессии между тремя членами выглядит так: \[ \frac{x}{a} = q \quad \text{и} \quad \frac{b}{x} = q \] где \(a\) — предыдущий член, \(b\) — следующий член, а \(x\) — пропущенный член.
Шаг 2: Установим уравнения
Разберемся с двумя уравнениями. Первое уравнение: от \(-93\) к \(x\): \[ x = -93 \cdot q \]
Второе уравнение: от \(x\) к \(-13392\): \[ -13392 = x \cdot q \]
Теперь подставим первое уравнение во второе: \[ -13392 = (-93 \cdot q) \cdot q \] \[ -13392 = -93 q^2 \]
Шаг 3: Найдем \(q^2\)
Теперь можем упростить уравнение: \[ 13392 = 93 q^2 \] Чтобы найти \(q^2\), делим обе стороны на 93: \[ q^2 = \frac{13392}{93} \] Теперь проведем вычисление: \[ q^2 = 144 \]
Шаг 4: Найдем \(q\)
Так как \(q > 0\), мы берем только положительное значение: \[ q = \sqrt{144} = 12 \]
Шаг 5: Найдем \(x\)
Теперь, когда мы знаем значение \(q\), подставим его обратно в уравнение для \(x\): \[ x = -93 \cdot q = -93 \cdot 12 \] Считаем: \[ x = -1116 \]
Ответ: Пропущенный член \(x\) равен \(-1116\).
Таким образом, мы нашли значение недостающего члена прогрессии, используя свойства геометрической прогрессии и простые алгебраические преобразования.
