От пристани на пирсе рыбхозяйства отправился в путь плот. Через 2 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно,…
От пристани на пирсе рыбхозяйства отправился в путь плот. Через 2 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернувшись к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 20 км. Найди скорость лодки против течения, если расстояние между пристанями составляет 24 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 5 км/ч. (Приложи фотографию своего решения для проверки учителем.)
Для решения задачи нам нужно найти скорость моторной лодки против течения. Давайте разберем все этапы пошагово.
Данные из задачи
- Плот отправился в путь и спустя 2 часа моторная лодка отправилась вдогонку.
- По возвращении лодки плот прошел 20 км.
- Расстояние между пристанями — 24 км.
- Скорость течения реки — 5 км/ч.
Обозначения
- Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна \( V \) км/ч.
- Тогда скорость лодки против течения будет \( V - 5 \) км/ч.
- Скорость плота будет равной скорости течения, то есть 5 км/ч.
Время, затраченное плотом
Плот прошел 20 км с течением. Чтобы найти время, которое он затратил на этот путь, используем формулу:
\[ t_{плота} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{20}{5} = 4 \text{ ч} \]
Время, затраченное моторной лодкой
Моторная лодка отправилась через 2 часа после плота. Таким образом, когда лодка вернулась, плот уже находился в пути 4 часа, и лодка была в пути только 2 часа. То есть время, которое лодка затратила на обратную поездку, плюс 2 часа — это общее время, когда плот уже был в пути.
Обозначим время, которое лодка потратила на движение до второй пристани, как \( t \). Тогда общее время:
\[ t + 2 + t = 4 \implies 2t + 2 = 4 \implies 2t = 2 \implies t = 1 \text{ ч} \]
Таким образом, лодке понадобился 1 час, чтобы добраться до второй пристани.
Расчет скорости лодки против течения
Теперь, когда лодка добрала до второй пристани, она прошла 24 км туда и возвращалась 24 км обратно за 1 час. Однако надо учесть, что лодка возвращалась против течения. Поэтому:
Время в пути на 24 км вверх по течению: \[ t = \frac{24}{V - 5} \]
Бремя на 24 км вниз по течению: \[ t = \frac{24}{V + 5} \]
Но так как время, когда лодка уже возвращалась, составляет 1 час, и мы можем выразить это следующим образом:
\[ \frac{24}{V - 5} + \frac{24}{V + 5} = 1 \]
Объединение уравнения
Теперь умножим обе стороны уравнения на \( (V - 5)(V + 5) \):
\[ 24(V + 5) + 24(V - 5) = (V - 5)(V + 5) \]
Раскроем скобки:
\[ 24V + 120 + 24V - 120 = V^2 - 25 \]
Сложим подобные:
\[ 48V = V^2 - 25 \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ V^2 - 48V - 25 = 0 \]
Решение квадратного уравнения
Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad \text{где } a = 1, b = -48, c = -25 \]
Подставляем значения:
\[ V = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} \]
\[ = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 100}}{2} \] \[ = \frac{48 \pm \sqrt{2404}}{2} \] \[ = \frac{48 \pm 49}{2} \]
Извлекая корни, получаем:
- \( V = \frac{97}{2} = 48.5 \) (не подойдёт, так как положительное)
- \( V = \frac{-1}{2} \) (отрицательное, не подходит)
Итак, мы возвращаемся к скорости и считаем:
Находим скорость против течения
Скорость лодки против течения:
\[ V - 5 \approx 48.5 - 5 = 43.5 \text{ км/ч} \]
Ответ
Скорость лодки против течения составляет aproximadamente 43.5 км/ч.
Таким образом, мы нашли необходимые значения со всеми шагами и обоснованиями.
