Найди значение b 8 b 8 , если b 1 = 6 625 b 1 = 625 6 и q = 5 q=5 .
Чтобы найти значение \( b_8 \) по заданным данным \( b_1 = 625 \) и \( q = 5 \), мы можем использовать формулу для нахождения членов геометрической прогрессии.
Шаги решения:
Определение основы геометрической прогрессии: В геометрической прогрессии каждый следующий член можно найти по формуле: \[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \] где:
- \( b_n \) — это \( n \)-й член прогрессии,
- \( b_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии,
- \( n \) — номер члена прогрессии.
Подстановка значений: Мы знаем, что \( b_1 = 625 \), \( q = 5 \) и нам нужно найти \( b_8 \): \[ b_8 = b_1 \cdot q^{(8-1)} \] Подставим известные значения: \[ b_8 = 625 \cdot 5^{7} \]
Вычисление \( 5^7 \): Для вычисления \( 5^7 \) можно воспользоваться ступенчатым возведением в степень: \[ 5^2 = 25 \] \[ 5^3 = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125 \] \[ 5^4 = 5 \cdot 5^3 = 5 \cdot 125 = 625 \] \[ 5^5 = 5 \cdot 5^4 = 5 \cdot 625 = 3125 \] \[ 5^6 = 5 \cdot 5^5 = 5 \cdot 3125 = 15625 \] \[ 5^7 = 5 \cdot 5^6 = 5 \cdot 15625 = 78125 \]
Подстановка и расчет \( b_8 \): Теперь подставим \( 5^7 = 78125 \) в уравнение для \( b_8 \): \[ b_8 = 625 \cdot 78125 \]
Умножение: Теперь вычислим \( 625 \cdot 78125 \). Проще вычислить это так: \[ 625 = 5^4 \] \[ b_8 = 5^4 \cdot 78125 = 5^4 \cdot 5^7 = 5^{(4+7)} = 5^{11} \]
Теперь посчитаем \( 5^{11} \): \[ 5^{11} = 5 \cdot 5^{10} = 5 \cdot (5^5)^2 = 5 \cdot (3125)^2 = 5 \cdot 9765625 = 48828125 \]
Таким образом, значение \( b_8 \) будет равно: \[ \boxed{48828125} \]
Это значение и будет искомым членом геометрической прогрессии под номером 8.
