У=|х²+3х+2|

Чтобы решить задачу \( U = |x^2 + 3x + 2| \), начнём с рассмотрения выражения внутри модуля.

1. Решаем квадратное уравнение: Мы можем начать с нахождения корней квадратного уравнения. Уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \) можно решить с помощью поиска корней.

   Мы можем разложить его на множители:

   • Найдём два числа, произведение которых равно \( 2 \) (свободный член), а сумма равна \( 3 \) (коэффициент при \( x \)).
   • Эти числа — \( 1 \) и \( 2 \). Следовательно, уравнение можно разложить так: \[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \]

   Корни этого уравнения: \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \\ x + 2 = 0 \implies x = -2 \]

2. Определяем знаки выражения на интервалах: Теперь мы можем определить, в каких промежутках выражение \( x^2 + 3x + 2 \) положительно, а в каких — отрицательно. Для этого рассмотрим интервалы, образованные корнями:

   • Интервал \( (-\infty, -2) \)
   • Интервал \( (-2, -1) \)
   • Интервал \( (-1, +\infty) \)

   Подставим тестовые точки из каждого интервала в выражение \( x^2 + 3x + 2 \):

   • Для \( x = -3 \) (из интервала \( (-\infty, -2) \)): \[ (-3)^2 + 3(-3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \quad (> 0) \]
   • Для \( x = -1.5 \) (из интервала \( (-2, -1) \)): \[ (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 \quad (< 0) \]
   • Для \( x = 0 \) (из интервала \( (-1, +\infty) \)): \[ (0)^2 + 3(0) + 2 = 2 \quad (> 0) \]

   Итак, мы имеем:

   • \( x^2 + 3x + 2 \geq 0 \) на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [-1, +\infty) \)
   • \( x^2 + 3x + 2 < 0 \) на интервале \( (-2, -1) \)

3. Записываем модуль: Теперь мы можем записать, как будет выглядеть \( U \) на разных интервалах:

   • На интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [-1, +\infty) \): \[ U = x^2 + 3x + 2 \]
   • На интервале \( (-2, -1) \): \[ U = -(x^2 + 3x + 2) = -x^2 - 3x - 2 \]

4. Финальная запись: Объединив результаты, получаем:

\[ U = \begin{cases} x^2 + 3x + 2, & x \leq -2 \\ -x^2 - 3x - 2, & -2 < x < -1 \\ x^2 + 3x + 2, & x \geq -1 \end{cases} \]

Таким образом, мы нашли выражение для \( U \) в зависимости от \( x \). Выражение \( |x^2 + 3x + 2| \) принимает разные формы в зависимости от того, в каком интервале находится \( x \).