Предмет расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Оптическая сила линзы D=2 дптр. Изображение предмета действительное, уменьшенное (отношение высоты…

Для решения задачи начнем с основ оптики и применения формул, связанных с линзами.

Дано:

• Оптическая сила линзы \( D = 2 \) диоптрии.
• Коэффициент уменьшения изображения \( k = 0,25 \).

Шаг 1: Определим фокусное расстояние линзы

Оптическая сила \( D \) линзы связана с её фокусным расстоянием \( f \) по формуле:

\[ D = \frac{1}{f} \]

Подставим известное значение:

\[ 2 = \frac{1}{f} \]

Решая это уравнение, получаем:

\[ f = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ метра} = 50 \text{ см} \]

Шаг 2: Используем формулу линзы

Формула линзы для тонкой собирающей линзы имеет вид:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]

где:

• \( d_o \) — расстояние от предмета до линзы,
• \( d_i \) — расстояние от линзы до изображения.

Шаг 3: Определим соотношение между высотой изображения и высотой предмета

Коэффициент уменьшения изображения \( k \) определяется как:

\[ k = \frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o} \]

где:

• \( h_i \) — высота изображения,
• \( h_o \) — высота предмета.

Подставим известное значение \( k \):

\[ 0,25 = \frac{d_i}{d_o} \]

Из этого уравнения выразим \( d_i \):

\[ d_i = 0,25 d_o \]

Шаг 4: Подставим \( d_i \) в формулу линзы

Теперь подставим \( d_i \) в формулу линзы:

\[ \frac{1}{50} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{0,25 d_o} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{50} = \frac{1}{d_o} + \frac{4}{d_o} = \frac{5}{d_o} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{1}{50} = \frac{5}{d_o} \]

Решим его относительно \( d_o \):

\[ d_o = 50 \cdot 5 = 250 \text{ см} \]

Шаг 5: Найдем \( d_i \)

Используем найденное значение \( d_o \) для нахождения \( d_i \):

\[ d_i = 0,25 \cdot d_o = 0,25 \cdot 250 = 62,5 \text{ см} \]

Шаг 6: Найдем расстояние между предметом и изображением

Расстояние между предметом и изображением \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = d_o + d_i \]

Подставим найденные значения:

\[ S = 250 + 62,5 = 312,5 \text{ см} \]

Ответ

Расстояние между предметом и его изображением составляет 312,5 см.