Для решения задачи начнем с основ оптики и применения формул, связанных с линзами.
Дано:
- Оптическая сила линзы ( D = 2 ) диоптрии.
- Коэффициент уменьшения изображения ( k = 0,25 ).
Шаг 1: Определим фокусное расстояние линзы
Оптическая сила ( D ) линзы связана с её фокусным расстоянием ( f ) по формуле:
[
D = \frac{1}{f}
]
Подставим известное значение:
[
2 = \frac{1}{f}
]
Решая это уравнение, получаем:
[
f = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ метра} = 50 \text{ см}
]
Шаг 2: Используем формулу линзы
Формула линзы для тонкой собирающей линзы имеет вид:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
]
где:
- ( d_o ) — расстояние от предмета до линзы,
- ( d_i ) — расстояние от линзы до изображения.
Шаг 3: Определим соотношение между высотой изображения и высотой предмета
Коэффициент уменьшения изображения ( k ) определяется как:
[
k = \frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o}
]
где:
- ( h_i ) — высота изображения,
- ( h_o ) — высота предмета.
Подставим известное значение ( k ):
[
0,25 = \frac{d_i}{d_o}
]
Из этого уравнения выразим ( d_i ):
[
d_i = 0,25 d_o
]
Шаг 4: Подставим ( d_i ) в формулу линзы
Теперь подставим ( d_i ) в формулу линзы:
[
\frac{1}{50} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{0,25 d_o}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{1}{50} = \frac{1}{d_o} + \frac{4}{d_o} = \frac{5}{d_o}
]
Теперь уравнение выглядит так:
[
\frac{1}{50} = \frac{5}{d_o}
]
Решим его относительно ( d_o ):
[
d_o = 50 \cdot 5 = 250 \text{ см}
]
Шаг 5: Найдем ( d_i )
Используем найденное значение ( d_o ) для нахождения ( d_i ):
[
d_i = 0,25 \cdot d_o = 0,25 \cdot 250 = 62,5 \text{ см}
]
Шаг 6: Найдем расстояние между предметом и изображением
Расстояние между предметом и изображением ( S ) вычисляется по формуле:
[
S = d_o + d_i
]
Подставим найденные значения:
[
S = 250 + 62,5 = 312,5 \text{ см}
]
Ответ
Расстояние между предметом и его изображением составляет 312,5 см.
