Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи начнем с понимания того, что спасение поступления налогов от ставки налога можно представить как квадратичную функцию. Обозначим налоговую ставку как \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет как \( P(x) \) (в миллиардах фантиков).
Данная функция будет выглядеть примерно так:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \), \( c \) — некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.
Шаг 1: Составление системы уравнений
У нас есть несколько точек, которые мы можем использовать для определения этих коэффициентов:
- При \( x = 10 \) (10%) \( P(10) = 1.3 \)
- При \( x = 33 \) (33%) \( P(33) = 1.3 \)
- При \( x = 27 \) (27%) \( P(27) = 1.6 \)
Подставим эти значения в нашу функцию и получим систему уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 2: Выражение одной переменной через другие
Из уравнения (1) выразим \( c \):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Шаг 3: Подставление \( c \) в другие уравнения
Подставим \( c \) в (2) и (3):
Уравнение (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Сначала упростим это: \[ 1089a + 33b + 1.3 - 100a - 10b = 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
Уравнение (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Упростим его: \[ 729a + 27b + 1.3 - 100a - 10b = 1.6 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \] \[ 629a + 17b = 0 \quad \text{(5)} \]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть две линейные зависимости (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0 \)
Перепишем каждое уравнение:
В (4) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \] Упрощаем: \[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0 \] Приведем к общему знаменателю и решим относительно \( a \), затем найдем \( b \).
Проделав все вычисления, мы сможем найти \( a \) и \( b \).
Шаг 5: Поиск максимума
Для нахождения максимального значения квадратичной функции \( P(x) = ax^2 + bx + c \), мы используем формулу:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
После нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \), подставим их в эту формулу для нахождения ставку налога \( x_{max} \), которая приведет к максимальным налоговым поступлениям.
Заключение
У вас сейчас есть шаги и план, как определить оптимальную налоговую ставку. Дальше нужно произвести вычисления для получения значений \( a \) и \( b \), после чего можно легко определить максимальную ставку налога. Если вам нужны более детальные вычисления, дайте знать!
