Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Для решения задачи начнем с понимания того, что спасение поступления налогов от ставки налога можно представить как квадратичную функцию. Обозначим налоговую ставку как \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет как \( P(x) \) (в миллиардах фантиков). Данная функция будет выглядеть примерно так: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \), \( c \) — некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить. ### Шаг 1: Составление системы уравнений У нас есть несколько точек, которые мы можем использовать для определения этих коэффициентов: 1. При \( x = 10 \) (10%) \( P(10) = 1.3 \) 2. При \( x = 33 \) (33%) \( P(33) = 1.3 \) 3. При \( x = 27 \) (27%) \( P(27) = 1.6 \) Подставим эти значения в нашу функцию и получим систему уравнений: 1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1) 2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2) 3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3) ### Шаг 2: Выражение одной переменной через другие Из уравнения (1) выразим \( c \): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \] ### Шаг 3: Подставление \( c \) в другие уравнения Подставим \( c \) в (2) и (3): **Уравнение (2)**: \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Сначала упростим это: \[ 1089a + 33b + 1.3 - 100a - 10b = 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \] **Уравнение (3)**: \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Упростим его: \[ 729a + 27b + 1.3 - 100a - 10b = 1.6 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \] \[ 629a + 17b = 0 \quad \text{(5)} \] ### Шаг 4: Решение системы уравнений Теперь у нас есть две линейные зависимости (4) и (5): 1. \( 989a + 23b = 0 \) 2. \( 629a + 17b = 0 \) Перепишем каждое уравнение: В (4) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Подставим это значение в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \] Упрощаем: \[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0 \] Приведем к общему знаменателю и решим относительно \( a \), затем найдем \( b \). Проделав все вычисления, мы сможем найти \( a \) и \( b \). ### Шаг 5: Поиск максимума Для нахождения максимального значения квадратичной функции \( P(x) = ax^2 + bx + c \), мы используем формулу: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \] После нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \), подставим их в эту формулу для нахождения ставку налога \( x_{max} \), которая приведет к максимальным налоговым поступлениям. ### Заключение У вас сейчас есть шаги и план, как определить оптимальную налоговую ставку. Дальше нужно произвести вычисления для получения значений \( a \) и \( b \), после чего можно легко определить максимальную ставку налога. Если вам нужны более детальные вычисления, дайте знать!