1<x<5 * 1<1/y<1/2

Для решения неравенств \( 1 < x < 5 \) и \( 1 < \frac{1}{y} < \frac{1}{2} \) давайте разберём каждую часть отдельно.

Шаг 1: Решение первого неравенства \( 1 < x < 5 \)

Это простое двойное неравенство. Оно означает, что \( x \) должен быть больше 1 и меньше 5.

Таким образом, решения для \( x \) записываются как: \[ x \in (1, 5) \] То есть \( x \) может принимать любые значения в открытом интервале между 1 и 5, не включая сами границы.

Шаг 2: Решение второго неравенства \( 1 < \frac{1}{y} < \frac{1}{2} \)

Это также двойное неравенство, но здесь мы работаем с выражением для \( y \). Начнём с первого неравенства \( 1 < \frac{1}{y} \).

Поднеравенство \( 1 < \frac{1}{y} \)

Чтобы решить его, умножим обе стороны на \( y \). Важно помнить, что знак неравенства изменится, если \( y < 0 \) (что здесь не является нашей основной задачей, потому что будем считать, что \( y > 0 \)): \[ y < 1 \]

Поднеравенство \( \frac{1}{y} < \frac{1}{2} \)

Аналогично здесь умножаем обе стороны на \( y \): \[ 1 < \frac{y}{2} \] Умножаем обе стороны на 2: \[ 2 < y \] Или, что то же самое: \[ y > 2 \]

Шаг 3: Объединение решений

Теперь мы можем объединить результаты по \( y \):

• Из первого поднеравенства мы получили: \( y < 1 \).
• Из второго поднеравенства мы получили: \( y > 2 \).

Эти два условия противоречивы, потому что не существует значения \( y \), которое одновременно меньше 1 и больше 2.

Итог

Так как единого подходящего значения для \( y \) не существует, можем заключить следующее:

• Для \( x \) мы имеем \( x \in (1, 5) \).
• Для \( y \) решения нет, поскольку условия не могут выполняться одновременно.

Таким образом, финальный ответ: \[ x \in (1, 5), \quad y \text{ не существует} \]