Прямая y=9x-5 является касательной к графику функции y=x2+7x+c. Найдите с.

Чтобы найти значение \( c \) так, чтобы прямая \( y = 9x - 5 \) была касательной к графику функции \( y = x^2 + 7x + c \), нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала находим производную функции \( y = x^2 + 7x + c \), чтобы определить, где она может пересекаться с касательной.

\[ f(x) = x^2 + 7x + c \] \[ f'(x) = 2x + 7 \]

Шаг 2: Определить момент касания

Чтобы прямая была касательной к параболе, их производная должна совпадать в точке касания. Мы знаем, что наклон касательной (коэффициент при \( x \) в уравнении прямой) равен 9. Таким образом:

\[ f'(x) = 9 \]

Подставляем наше значение производной:

\[ 2x + 7 = 9 \]

Шаг 3: Найти значение \( x \)

Решаем уравнение для \( x \):

\[ 2x = 9 - 7 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \]

Шаг 4: Найти точку касания

Теперь подставим это значение \( x \) в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значение \( y \):

\[ y = 9(1) - 5 = 4 \]

Теперь мы знаем, что точка касания имеет координаты \( (1, 4) \).

Шаг 5: Подставить в уравнение параболы

Теперь, чтобы найти \( c \), мы подставим \( x = 1 \) и \( y = 4 \) в уравнение самой параболы:

\[ y = x^2 + 7x + c \] \[ 4 = 1^2 + 7(1) + c \] \[ 4 = 1 + 7 + c \] \[ 4 = 8 + c \]

Шаг 6: Найти значение \( c \)

Теперь решим для \( c \):

\[ c = 4 - 8 \] \[ c = -4 \]

Ответ

Итак, значение \( c \) равно \(-4\).

Таким образом, при \( c = -4 \) прямая \( y = 9x - 5 \) будет касательной к графику функции \( y = x^2 + 7x + c \).