Чтобы найти значение ( c ) так, чтобы прямая ( y = 9x - 5 ) была касательной к графику функции ( y = x^2 + 7x + c ), нам нужно следовать нескольким шагам.
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала находим производную функции ( y = x^2 + 7x + c ), чтобы определить, где она может пересекаться с касательной.
[
f(x) = x^2 + 7x + c
]
[
f'(x) = 2x + 7
]
Шаг 2: Определить момент касания
Чтобы прямая была касательной к параболе, их производная должна совпадать в точке касания. Мы знаем, что наклон касательной (коэффициент при ( x ) в уравнении прямой) равен 9. Таким образом:
[
f'(x) = 9
]
Подставляем наше значение производной:
[
2x + 7 = 9
]
Шаг 3: Найти значение ( x )
Решаем уравнение для ( x ):
[
2x = 9 - 7
]
[
2x = 2
]
[
x = 1
]
Шаг 4: Найти точку касания
Теперь подставим это значение ( x ) в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значение ( y ):
[
y = 9(1) - 5 = 4
]
Теперь мы знаем, что точка касания имеет координаты ( (1, 4) ).
Шаг 5: Подставить в уравнение параболы
Теперь, чтобы найти ( c ), мы подставим ( x = 1 ) и ( y = 4 ) в уравнение самой параболы:
[
y = x^2 + 7x + c
]
[
4 = 1^2 + 7(1) + c
]
[
4 = 1 + 7 + c
]
[
4 = 8 + c
]
Шаг 6: Найти значение ( c )
Теперь решим для ( c ):
[
c = 4 - 8
]
[
c = -4
]
Ответ
Итак, значение ( c ) равно (-4).
Таким образом, при ( c = -4 ) прямая ( y = 9x - 5 ) будет касательной к графику функции ( y = x^2 + 7x + c ).
