Найдите площадь ромба, сторона которого равна 17 см, а разность диагоналей - 14 см. 5.

Чтобы найти площадь ромба, когда известны длина стороны и разность диагоналей, давайте разберем задачу пошагово. 1. **Формула для площади ромба**: Площадь ромба можно найти по формуле: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2}, \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей ромба. 2. **Связь между сторонами ромба и диагоналями**: Для ромба справедливо следующее соотношение по диагоналям и сторонам: \[ \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = a^2, \] где \( a \) — длина стороны ромба. Изначально у нас есть сторона \( a = 17 \) см и разность диагоналей \( |d_1 - d_2| = 14 \) см. 3. **Обозначим диагонали**: Пусть \( d_1 = x \) и \( d_2 = y \). Из условия задачи, разность диагоналей даёт нам уравнение: \[ x - y = 14 \] или \[ x = y + 14. \] 4. **Подставим в формулу**: Теперь мы можем подставить \( x \) (или \( d_1 \)) во вторую формулу. Сначала выразим \( d_2 \): \[ y = x - 14. \] 5. **Подставим значения в уравнение для сторон**: Подставим \( x = y + 14 \) и \( y = x - 14 \) в формулу: \[ \frac{(y + 14)^2 + y^2}{4} = 17^2. \] Это упростится в: \[ \frac{(y^2 + 28y + 196) + y^2}{4} = 289. \] После упрощения получаем: \[ \frac{2y^2 + 28y + 196}{4} = 289. \] Умножаем на 4: \[ 2y^2 + 28y + 196 = 1156. \] Переносим 1156 влево: \[ 2y^2 + 28y - 960 = 0. \] 6. **Решаем квадратное уравнение**: Упрощаем уравнение делением на 2: \[ y^2 + 14y - 480 = 0. \] Теперь используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116. \] Находим корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{2116}}{2} = \frac{-14 \pm 46}{2}. \] Находим два значения: \( y_1 = \frac{32}{2} = 16 \) и \( y_2 = \frac{-60}{2} = -30 \) (отрицательное значение не имеет смысла, отбрасываем его). Таким образом, \( d_2 = y = 16 \) см. Теперь находим \( d_1 \): \[ d_1 = y + 14 = 16 + 14 = 30 \] см. 7. **Находим площадь ромба**: Теперь можно найти площадь: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{30 \times 16}{2} = \frac{480}{2} = 240 \] см². Таким образом, площадь ромба равна **240 см²**.