Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Для решения поставленной задачи, нам необходимо рассмотреть зависимость поступления налогов от ставки налога как квадратичную функцию. Обозначим ставку налога за x (в процентах), а сумму поступлений в бюджет (в миллиардах фантиков) за y. Итак, нам известно следующее: 1. При \( x = 10 \), \( y = 1.3 \) 2. При \( x = 33 \), \( y = 1.3 \) 3. При \( x = 27 \), \( y = 1.6 \) Поскольку зависимость quadratica, можем представить её в виде уравнения: \[ y = ax^2 + bx + c \] С учетом имеющихся у нас точек, можем установить систему уравнений. Мы можем использовать три точки для составления уравнений. 1. \( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) \[ 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1) \] 2. \( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (2) \] 3. \( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) \[ 1.6 = 729a + 27b + c \quad (3) \] Теперь мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными: \( a \), \( b \), и \( c \). ### Шаг 1: Устранение \( c \) Из уравнения (1) выразим \( c \): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad (4) \] Теперь подставим \( c \) в уравнения (2) и (3). Подставим (4) в (2): \[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \] Упрощаем: \[ 0 = 1089a + 33b - 100a - 10b \] \[ 0 = (1089 - 100)a + (33 - 10)b \] \[ 0 = 989a + 23b \quad (5) \] Теперь подставим (4) в (3): \[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \] Упрощаем: \[ 0.3 = 729a + 27b - 100a - 10b \] \[ 0.3 = (729 - 100)a + (27 - 10)b \] \[ 0.3 = 629a + 17b \quad (6) \] ### Шаг 2: Решение системы (5) и (6) Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( 989a + 23b = 0 \) (5) 2. \( 629a + 17b = 0.3 \) (6) Сначала решим уравнение (5) для \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Теперь подставим b в (6): \[ 629a + 17 \left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Умножим все на 23 для устранения дробей: \[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \] Подсчитаем коэффициенты: \[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \] Теперь подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}(-0.00294) \approx 0.134 \] ### Шаг 3: Получение \( c \) Теперь подставим \( a \) и \( b \) в (4): \[ c = 1.3 - 100(-0.00294) - 10(0.134) \] \[ c \approx 1.3 + 0.294 - 1.34 \approx 0.254 \] ### Шаг 4: Формирование функции Функция теперь выглядит как: \[ y = -0.00294x^2 + 0.134x + 0.254 \] ### Шаг 5: Находим максимум Чтобы найти максимум этой функции, нам нужно использовать формулу для координат максимума: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.134}{2 \cdot -0.00294} \approx 22.8 \] Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям, составляет примерно **22.8%**.