Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения поставленной задачи, нам необходимо рассмотреть зависимость поступления налогов от ставки налога как квадратичную функцию. Обозначим ставку налога за x (в процентах), а сумму поступлений в бюджет (в миллиардах фантиков) за y. Итак, нам известно следующее:
- При \( x = 10 \), \( y = 1.3 \)
- При \( x = 33 \), \( y = 1.3 \)
- При \( x = 27 \), \( y = 1.6 \)
Поскольку зависимость quadratica, можем представить её в виде уравнения:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
С учетом имеющихся у нас точек, можем установить систему уравнений. Мы можем использовать три точки для составления уравнений.
\( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) \[ 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1) \]
\( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (2) \]
\( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) \[ 1.6 = 729a + 27b + c \quad (3) \]
Теперь мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными: \( a \), \( b \), и \( c \).
Шаг 1: Устранение \( c \)
Из уравнения (1) выразим \( c \):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad (4) \]
Теперь подставим \( c \) в уравнения (2) и (3).
Подставим (4) в (2):
\[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \] Упрощаем:
\[ 0 = 1089a + 33b - 100a - 10b \] \[ 0 = (1089 - 100)a + (33 - 10)b \] \[ 0 = 989a + 23b \quad (5) \]
Теперь подставим (4) в (3):
\[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \] Упрощаем:
\[ 0.3 = 729a + 27b - 100a - 10b \] \[ 0.3 = (729 - 100)a + (27 - 10)b \] \[ 0.3 = 629a + 17b \quad (6) \]
Шаг 2: Решение системы (5) и (6)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 989a + 23b = 0 \) (5)
- \( 629a + 17b = 0.3 \) (6)
Сначала решим уравнение (5) для \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим b в (6):
\[ 629a + 17 \left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Умножим все на 23 для устранения дробей:
\[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \] Подсчитаем коэффициенты:
\[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Теперь подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}(-0.00294) \approx 0.134 \]
Шаг 3: Получение \( c \)
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в (4):
\[ c = 1.3 - 100(-0.00294) - 10(0.134) \] \[ c \approx 1.3 + 0.294 - 1.34 \approx 0.254 \]
Шаг 4: Формирование функции
Функция теперь выглядит как:
\[ y = -0.00294x^2 + 0.134x + 0.254 \]
Шаг 5: Находим максимум
Чтобы найти максимум этой функции, нам нужно использовать формулу для координат максимума:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.134}{2 \cdot -0.00294} \approx 22.8 \]
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям, составляет примерно 22.8%.
