cos² 30° * tg 30°/ cos³ 30°* cos² 45°

Давайте разберем данное выражение шаг за шагом.

Задача:
\[ \frac{\cos^2(30^\circ) \cdot \tan(30^\circ)}{\cos^3(30^\circ) \cdot \cos^2(45^\circ)} \]

Шаг 1: Найдем значения тригонометрических функций

1. Значение \(\cos(30^\circ)\):
   \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Значение \(\tan(30^\circ)\):
   \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

3. Значение \(\cos(45^\circ)\):
   \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 2: Подставим значения в выражение

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

• \(\cos^2(30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\)
• \(\cos^3(30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}\)
• \(\cos^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Теперь подставляем значения в выражение:

\[ \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{2}} \]

Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель

1. Числитель: \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} \]

2. Знаменатель: \[ \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \]

Теперь подставим это обратно в выражение:

\[ \frac{\frac{3}{4\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}}{16}} \]

Шаг 4: Деление дробей

Деление дробей сводится к умножению на обратную дробь:

\[ \frac{3}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 16}{4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{48}{4 \cdot 3} = \frac{48}{12} = 4 \]

Ответ

Таким образом, значение всего выражения равно \(4\).