Баскетболист на тренировке бросают мяч в корзину шесть раз вероятность попадания при каждом отдельном броске равна 0,4 найдите вероятность того что попадёт в корзину три раза
Давайте решим задачу о вероятности. Здесь мы имеем дело с правилами биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество попыток, два возможных исхода (попадание или промах), и вероятность успеха (попадания) постоянна.
Дано:
- Количество бросков (n) = 6
- Вероятность попадания (p) = 0,4
- Количество попаданий (k) = 3
Формула для биномиального распределения:
Вероятность того, что событие произойдет k раз из n попыток, можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{(n-k)} \]
где:
- \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, который равен \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- \(p\) — вероятность успеха (в нашем случае, попадания)
- \(1-p\) — вероятность неудачи (в нашем случае, промаха)
Шаг 1: Вычислим биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\)
Для нашего случая \(n = 6\) и \(k = 3\):
\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]
Шаг 2: Подставим значения в формулу
Теперь отыскали биномиальный коэффициент, можем подставить значения в формулу:
\[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{(6-3)} \]
Шаг 3: Вычислим \( (0.4)^3 \) и \( (0.6)^3 \)
\[ (0.4)^3 = 0.064 \] \[ (0.6)^3 = 0.216 \]
Шаг 4: Подставим и вычислим вероятность
Теперь можно подставить все известные значения в формулу:
\[ P(X = 3) = 20 \cdot 0.064 \cdot 0.216 \]
Теперь вычислим:
- Сначала перемножим \(20 \cdot 0.064\):
\[ 20 \cdot 0.064 = 1.28 \]
- Затем перемножаем это значение с \(0.216\):
\[ 1.28 \cdot 0.216 \approx 0.27648 \]
Итог:
Вероятность того, что баскетболист попадет в корзину 3 раза из 6 бросков, составляет примерно 0.27648 или 27.648%.
Это значит, что если бы баскетболист бросал мяч много раз (в идеале бесконечное число), то примерно в 27.648% случаев он попадал бы три раза.
