Чтобы найти дисперсию (D(X)) и стандартное отклонение (G(X)) случайной величины (X), мы последовательно проведем следующие шаги:
Шаг 1: Определить математическое ожидание (E(X))
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
]
где (x_i) — значение случайной величины, а (P(x_i)) — соответствующая вероятность.
Подставим наши данные:
[
x_1 = 1, , P(x_1) = 0.03 \
x_2 = 2, , P(x_2) = 0.4 \
x_3 = 3, , P(x_3) = 0.01 \
x_4 = 4, , P(x_4) = 0.25 \
x_5 = 5, , P(x_5) = 0.17 \
x_6 = 6, , P(x_6) = 0.1 \
x_7 = 7, , P(x_7) = 0.04
]
Теперь рассчитываем (E(X)):
[
E(X) = 1 \cdot 0.03 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.01 + 4 \cdot 0.25 + 5 \cdot 0.17 + 6 \cdot 0.1 + 7 \cdot 0.04
]
Теперь подставим значения и посчитаем:
[
E(X) = 0.03 + 0.8 + 0.03 + 1 + 0.85 + 0.6 + 0.28 = 3.59
]
Шаг 2: Найти дисперсию (D(X))
Дисперсия рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала нам нужно найти (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(x_i)
]
Посчитаем (E(X^2)):
[
E(X^2) = 1^2 \cdot 0.03 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.01 + 4^2 \cdot 0.25 + 5^2 \cdot 0.17 + 6^2 \cdot 0.1 + 7^2 \cdot 0.04
]
Работая с этим:
[
E(X^2) = 0.03 + 4 \cdot 0.4 + 0.03 + 16 \cdot 0.25 + 25 \cdot 0.17 + 36 \cdot 0.1 + 49 \cdot 0.04
]
Теперь считаем значения:
[
E(X^2) = 0.03 + 1.6 + 0.03 + 4 + 4.25 + 3.6 + 1.96 = 15.47
]
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 15.47 - (3.59)^2
]
Считаем ((3.59)^2):
[
(3.59)^2 \approx 12.8881
]
Теперь подставим значение:
[
D(X) = 15.47 - 12.8881 \approx 2.5819
]
Шаг 3: Найти стандартное отклонение (G(X))
Стандартное отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии:
[
G(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2.5819} \approx 1.607
]
Окончательный ответ
Теперь округлим значения до сотых:
- (D(X) \approx 2.58)
- (G(X) \approx 1.61)
Таким образом, ответы:
[
D(X) = 2.58 \
G(X) = 1.61
]
