В таблице дано распределение вероятностей случайной величины Х. Чему равны дисперсия D(X) и стандартное отклонение G(X) этой величины? Значение X 1 2 3 4 5 6 7 Вероятность 0,03…

Чтобы найти дисперсию \(D(X)\) и стандартное отклонение \(G(X)\) случайной величины \(X\), мы последовательно проведем следующие шаги:

Шаг 1: Определить математическое ожидание \(E(X)\)

Математическое ожидание рассчитывается по формуле:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) \]

где \(x_i\) — значение случайной величины, а \(P(x_i)\) — соответствующая вероятность.

Подставим наши данные:

\[ x_1 = 1, \, P(x_1) = 0.03 \\ x_2 = 2, \, P(x_2) = 0.4 \\ x_3 = 3, \, P(x_3) = 0.01 \\ x_4 = 4, \, P(x_4) = 0.25 \\ x_5 = 5, \, P(x_5) = 0.17 \\ x_6 = 6, \, P(x_6) = 0.1 \\ x_7 = 7, \, P(x_7) = 0.04 \]

Теперь рассчитываем \(E(X)\):

\[ E(X) = 1 \cdot 0.03 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.01 + 4 \cdot 0.25 + 5 \cdot 0.17 + 6 \cdot 0.1 + 7 \cdot 0.04 \]

Теперь подставим значения и посчитаем:

\[ E(X) = 0.03 + 0.8 + 0.03 + 1 + 0.85 + 0.6 + 0.28 = 3.59 \]

Шаг 2: Найти дисперсию \(D(X)\)

Дисперсия рассчитывается по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала нам нужно найти \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(x_i) \]

Посчитаем \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot 0.03 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.01 + 4^2 \cdot 0.25 + 5^2 \cdot 0.17 + 6^2 \cdot 0.1 + 7^2 \cdot 0.04 \]

Работая с этим:

\[ E(X^2) = 0.03 + 4 \cdot 0.4 + 0.03 + 16 \cdot 0.25 + 25 \cdot 0.17 + 36 \cdot 0.1 + 49 \cdot 0.04 \]

Теперь считаем значения:

\[ E(X^2) = 0.03 + 1.6 + 0.03 + 4 + 4.25 + 3.6 + 1.96 = 15.47 \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 15.47 - (3.59)^2 \]

Считаем \((3.59)^2\):

\[ (3.59)^2 \approx 12.8881 \]

Теперь подставим значение:

\[ D(X) = 15.47 - 12.8881 \approx 2.5819 \]

Шаг 3: Найти стандартное отклонение \(G(X)\)

Стандартное отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

\[ G(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2.5819} \approx 1.607 \]

Окончательный ответ

Теперь округлим значения до сотых:

• \(D(X) \approx 2.58\)
• \(G(X) \approx 1.61\)

Таким образом, ответы:

\[ D(X) = 2.58 \\ G(X) = 1.61 \]