Прямоугольный участок площадью 0,6 га окружён забором длинной 340 м. найдите расстояние между противоположными углами этого участка.

Для решения этой задачи нам необходимо сначала понять, какой геометрической фигурой является участок. Поскольку это прямоугольный участок, мы можем воспользоваться формулами для вычисления его параметров.

Шаг 1: Определение площади участка

Площадь прямоугольника (S) считается по формуле: \[ S = a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.

Мы знаем, что площадь участка составляет 0,6 гектара. Преобразуем гектары в квадратные метры: \[ 1 \text{ га} = 10,000 \text{ м}^2 \] Таким образом, \[ 0,6 \text{ га} = 0,6 \cdot 10,000 = 6000 \text{ м}^2 \]

Шаг 2: Периметр участка

Периметр прямоугольника (P) считается по формуле: \[ P = 2(a + b) \] Нам дан периметр: \[ P = 340 \text{ м} \] Тогда у нас есть уравнение: \[ 2(a + b) = 340 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 170 \text{ м} \]

Шаг 3: Система уравнений

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. \( a \cdot b = 6000 \)
2. \( a + b = 170 \)

Из второго уравнения выразим одну из сторон, например, \( b \): \[ b = 170 - a \]

Шаг 4: Подстановка

Теперь подставим \( b \) в первое уравнение: \[ a \cdot (170 - a) = 6000 \] Раскроем скобки: \[ 170a - a^2 = 6000 \] Приведем это уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 170a + 6000 = 0 \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -170 \), \( c = 6000 \): \[ D = (-170)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6000 \] \[ D = 28900 - 24000 = 4900 \]

Теперь находим корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 \pm \sqrt{4900}}{2} \] \[ \sqrt{4900} = 70 \] Подставляем: \[ a = \frac{170 \pm 70}{2} \]

Таким образом, у нас будет два решения:

1. \( a_1 = \frac{240}{2} = 120 \)
2. \( a_2 = \frac{100}{2} = 50 \)

Шаг 6: Находим стороны

Получим стороны прямоугольника:

• Если \( a = 120 \), то \( b = 50 \)
• Или, наоборот, \( a = 50 \), \( b = 120 \)

Шаг 7: Нахождение расстояния между противоположными углами

Расстояние между противоположными углами прямоугольника — это длина диагонали. Диагональ (d) вычисляется по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Подставим наши значения: \[ d = \sqrt{120^2 + 50^2} \] \[ d = \sqrt{14400 + 2500} \] \[ d = \sqrt{16900} \] \[ d = 130 \text{ м} \]

Ответ

Расстояние между противоположными углами этого участка составляет 130 метров.