В классе 28 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 11 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать выбор

Чтобы решить задачу о выборе 11 школьников из 28 в классе, нам нужно использовать комбинации. Комбинация — это способ выбрать элементы из множества, не учитывая порядок, в котором они выбраны.

Шаг 1: Определим формулу для комбинаций
Комбинации обозначаются как \( C(n, k) \), где:

• \( n \) — общее количество элементов в множестве (в нашем случае, 28 учеников).
• \( k \) — количество элементов, которые мы хотим выбрать (в нашем случае, 11 школьников).

Формула для вычисления комбинаций выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

где \( n! \) (факториал числа \( n \)) — это произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).

Шаг 2: Подставим значения
В нашем случае \( n = 28 \) и \( k = 11 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ C(28, 11) = \frac{28!}{11! \cdot (28 - 11)!} = \frac{28!}{11! \cdot 17!} \]

Шаг 3: Упростим выражение
Чтобы упростить вычисление, мы можем разложить \( 28! \) до \( 17! \):

\[ C(28, 11) = \frac{28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Шаг 4: Вычислим числитель и знаменатель
Теперь посчитаем числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: \[ 28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \]

Знаменатель: \[ 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800 \]

Шаг 5: Вычислим результат
Числитель равен 304231056000. Теперь делим его на 39916800:

\[ C(28, 11) = \frac{304231056000}{39916800} = 7610 \]

Таким образом, классный руководитель может выбрать 11 учеников из 28 школьников 7610 различными способами.