Чтобы решить задачу о выборе 11 школьников из 28 в классе, нам нужно использовать комбинации. Комбинация — это способ выбрать элементы из множества, не учитывая порядок, в котором они выбраны.
Шаг 1: Определим формулу для комбинаций
Комбинации обозначаются как ( C(n, k) ), где:
- ( n ) — общее количество элементов в множестве (в нашем случае, 28 учеников).
- ( k ) — количество элементов, которые мы хотим выбрать (в нашем случае, 11 школьников).
Формула для вычисления комбинаций выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
где ( n! ) (факториал числа ( n )) — это произведение всех целых чисел от 1 до ( n ).
Шаг 2: Подставим значения
В нашем случае ( n = 28 ) и ( k = 11 ). Подставим эти значения в формулу:
[
C(28, 11) = \frac{28!}{11! \cdot (28 - 11)!} = \frac{28!}{11! \cdot 17!}
]
Шаг 3: Упростим выражение
Чтобы упростить вычисление, мы можем разложить ( 28! ) до ( 17! ):
[
C(28, 11) = \frac{28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Шаг 4: Вычислим числитель и знаменатель
Теперь посчитаем числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель:
[
28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18
]
Знаменатель:
[
11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800
]
Шаг 5: Вычислим результат
Числитель равен 304231056000. Теперь делим его на 39916800:
[
C(28, 11) = \frac{304231056000}{39916800} = 7610
]
Таким образом, классный руководитель может выбрать 11 учеников из 28 школьников 7610 различными способами.
