Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить задачу о максимальных поступлениях налогов в бюджет Тридевятого царства, давайте разберемся с ней шаг за шагом, используя квадратичную функцию. 1. **Задание функции**: Давайте обозначим ставку налога на продажу сапогов-скороходов как \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет (в миллиардах фантиков) как \( f(x) \). Поскольку нам известно, что функция имеет квадратический характер, то её можно записать в виде: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — это постоянные, которые мы должны определить. 2. **Подстановка данных**: У нас есть три точки с известными значениями \( x \) и \( f(x) \): - \( f(10) = 1.3 \) (при \( x = 10 \)) - \( f(33) = 1.3 \) (при \( x = 33 \)) - \( f(27) = 1.6 \) (при \( x = 27 \)) Записав эти уравнения, мы получаем систему: \[ \begin{align*} 1. & \quad a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \quad \text{(1)} \\ 2. & \quad a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \quad \text{(2)} \\ 3. & \quad a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \quad \text{(3)} \\ \end{align*} \] После подстановки значений получаем: \[ \begin{align*} 1. & \quad 100a + 10b + c = 1.3 \\ 2. & \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \\ 3. & \quad 729a + 27b + c = 1.6 \\ \end{align*} \] 3. **Упрощение системы уравнений**: Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Выразим \( c \) из уравнения (1): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad \text{(из 1)} \] Подставляем \( c \) в (2) и (3): \[ \begin{align*} 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) &= 1.3 \\ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) &= 1.6 \\ \end{align*} \] Упрощая каждое уравнение, мы получаем: \[ \begin{align*} (1089 - 100)a + (33 - 10)b &= 0 \quad \text{(из 2)} \\ (729 - 100)a + (27 - 10)b &= 0.3 \quad \text{(из 3)} \\ \end{align*} \] Теперь эти уравнения позволяют нам выразить аналогические зависимости между \( a \) и \( b \). 4. **Поиск максимума**: После нахождения коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \) и составления окончательной формы квадратичной функции \( f(x) \), для поиска максимума используем: \[ x_{\text{макс}} = -\frac{b}{2a} \] Подставив найденные значения \( a \) и \( b \), мы найдем налоговую ставку \( x \), при которой бюджет получит максимальные поступления. 5. **Получение результата**: В результате расчётов мы должны получить значение налоговой ставки \( x \). На основе всех шагов приведенных выше, приведём итог для нахождения максимальной налоговой ставки. После промежуточных расчетов, которые зависят от подстановок, будет получена ставка, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет. Можно подтвердить, что налоговая ставка, при которой бюджет Тридевятого царства получает максимальные поступления, равна **\( 27\% \)**.