-2x² + x <=-6

Чтобы решить неравенство \(-2x^2 + x \leq -6\), начнем с приведения его к стандартному виду. Переносим все термины в одну сторону неравенства. ### Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду Переносим \(-6\) в левую часть: \[ -2x^2 + x + 6 \leq 0 \] ### Шаг 2: Упрощаем Теперь у нас есть квадратичное неравенство. Чтобы лучше с ним работать, сначала можно умножить всё неравенство на \(-1\), тогда знаки неравенства поменяются: \[ 2x^2 - x - 6 \geq 0 \] ### Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения Теперь решим уравнение \(2x^2 - x - 6 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставим значения: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \] ### Шаг 4: Находим roots Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим известные значения: \[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4} \] Следовательно, находим два корня: 1. \(x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2\) 2. \(x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\) ### Шаг 5: Определяем знаки на интервалах Корни делят числовую ось на три интервала: 1. \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) 2. \( (-\frac{3}{2}, 2) \) 3. \( (2, +\infty) \) Теперь необходимо определить знак \(2x^2 - x - 6\) на каждом из этих интервалов. - **На интервале \((- \infty, -\frac{3}{2})\)**: возьмем, например, \(x = -2\): \[ 2(-2)^2 - (-2) - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 \quad (\text{положительное}) \] - **На интервале \((- \frac{3}{2}, 2)\)**: возьмем, например, \(x = 0\): \[ 2(0)^2 - 0 - 6 = -6 \quad (\text{отрицательное}) \] - **На интервале \((2, +\infty)\)**: возьмем, например, \(x = 3\): \[ 2(3)^2 - 3 - 6 = 18 - 3 - 6 = 9 \quad (\text{положительное}) \] ### Шаг 6: Заключение Теперь можем записать решение неравенства. Мы ищем интервал, в котором выражение \(2x^2 - x - 6 \geq 0\): 1. В интервале \((- \infty, -\frac{3}{2})\) — положительно. 2. В интервале \((- \frac{3}{2}, 2)\) — отрицательно. 3. В интервале \((2, +\infty)\) — положительно. ### Шаг 7: Включаем корни Так как мы рассматриваем неравенство с "больше или равно", корни \( -\frac{3}{2} \) и \( 2 \) включаются в решение. ### Ответ Итак, общее решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [2, +\infty) \]