-2x² + x <=-6

Чтобы решить неравенство \(-2x^2 + x \leq -6\), начнем с приведения его к стандартному виду. Переносим все термины в одну сторону неравенства.

Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду

Переносим \(-6\) в левую часть:

\[ -2x^2 + x + 6 \leq 0 \]

Шаг 2: Упрощаем

Теперь у нас есть квадратичное неравенство. Чтобы лучше с ним работать, сначала можно умножить всё неравенство на \(-1\), тогда знаки неравенства поменяются:

\[ 2x^2 - x - 6 \geq 0 \]

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь решим уравнение \(2x^2 - x - 6 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -6\).

Подставим значения:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \]

Шаг 4: Находим roots

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим известные значения:

\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4} \]

Следовательно, находим два корня:

1. \(x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
2. \(x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\)

Шаг 5: Определяем знаки на интервалах

Корни делят числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
2. \( (-\frac{3}{2}, 2) \)
3. \( (2, +\infty) \)

Теперь необходимо определить знак \(2x^2 - x - 6\) на каждом из этих интервалов.

• На интервале \((- \infty, -\frac{3}{2})\): возьмем, например, \(x = -2\):

\[ 2(-2)^2 - (-2) - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 \quad (\text{положительное}) \]

• На интервале \((- \frac{3}{2}, 2)\): возьмем, например, \(x = 0\):

\[ 2(0)^2 - 0 - 6 = -6 \quad (\text{отрицательное}) \]

• На интервале \((2, +\infty)\): возьмем, например, \(x = 3\):

\[ 2(3)^2 - 3 - 6 = 18 - 3 - 6 = 9 \quad (\text{положительное}) \]

Шаг 6: Заключение

Теперь можем записать решение неравенства. Мы ищем интервал, в котором выражение \(2x^2 - x - 6 \geq 0\):

1. В интервале \((- \infty, -\frac{3}{2})\) — положительно.
2. В интервале \((- \frac{3}{2}, 2)\) — отрицательно.
3. В интервале \((2, +\infty)\) — положительно.

Шаг 7: Включаем корни

Так как мы рассматриваем неравенство с "больше или равно", корни \( -\frac{3}{2} \) и \( 2 \) включаются в решение.

Ответ

Итак, общее решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [2, +\infty) \]