5x²>=4-8x

Давайте решим неравенство \( 5x^2 \geq 4 - 8x \) шаг за шагом и подробно объясним каждое действие. ### Шаг 1: Приведение к стандартному виду Сначала мы перенесем все части неравенства в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства. Сначала добавим \( 8x \) и вычтем \( 4 \) из обеих сторон: \[ 5x^2 + 8x - 4 \geq 0 \] Теперь наше неравенство выглядит так: \[ 5x^2 + 8x - 4 \geq 0 \] ### Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти корни квадратного уравнения, соответствующего левому члену: \[ 5x^2 + 8x - 4 = 0 \] Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5 \), \( b = 8 \), \( c = -4 \). ### Шаг 3: Подставим значения в формулу Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 \] Дискриминант положительный, значит, есть два различных корня. Теперь подставим значения в формулу: \[ x_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] \[ x_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \] Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = \frac{2}{5} \) и \( x_2 = -2 \). ### Шаг 4: Определим знаки выражения Теперь мы знаем корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{2}{5} \) и \( x_2 = -2 \). Следующий шаг — определить, на каких интервалах функция \( 5x^2 + 8x - 4 \) больше или равна нулю. Разделим числовую ось на три интервала, основанных на корнях: 1. \( (-\infty, -2) \) 2. \( (-2, \frac{2}{5}) \) 3. \( (\frac{2}{5}, +\infty) \) Теперь проверим знак функции в каждом из интервалов, подставляя тестовые значения. - **Интервал \( (-\infty, -2) \)**: Пусть \( x = -3 \): \[ 5(-3)^2 + 8(-3) - 4 = 5 \cdot 9 - 24 - 4 = 45 - 24 - 4 = 17 \quad (> 0) \] - **Интервал \( (-2, \frac{2}{5}) \)**: Пусть \( x = 0 \): \[ 5(0)^2 + 8(0) - 4 = -4 \quad (< 0) \] - **Интервал \( (\frac{2}{5}, +\infty) \)**: Пусть \( x = 1 \): \[ 5(1)^2 + 8(1) - 4 = 5 + 8 - 4 = 9 \quad (> 0) \] ### Шаг 5: Запишем итоговый ответ На основании этих вычислений, функция \( 5x^2 + 8x - 4 \) больше или равна нулю на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [\frac{2}{5}, +\infty) \). Итак, ответ для неравенства \( 5x^2 + 8x - 4 \geq 0 \): \[ x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{2}{5}, +\infty) \] Таким образом, мы нашли все решения данного неравенства. Если есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!