5x²>=4-8x
Давайте решим неравенство \( 5x^2 \geq 4 - 8x \) шаг за шагом и подробно объясним каждое действие.
Шаг 1: Приведение к стандартному виду
Сначала мы перенесем все части неравенства в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства. Сначала добавим \( 8x \) и вычтем \( 4 \) из обеих сторон:
\[ 5x^2 + 8x - 4 \geq 0 \]
Теперь наше неравенство выглядит так:
\[ 5x^2 + 8x - 4 \geq 0 \]
Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения
Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти корни квадратного уравнения, соответствующего левому члену:
\[ 5x^2 + 8x - 4 = 0 \]
Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 5 \), \( b = 8 \), \( c = -4 \).
Шаг 3: Подставим значения в формулу
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 \]
Дискриминант положительный, значит, есть два различных корня.
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ x_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \]
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = \frac{2}{5} \) и \( x_2 = -2 \).
Шаг 4: Определим знаки выражения
Теперь мы знаем корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{2}{5} \) и \( x_2 = -2 \). Следующий шаг — определить, на каких интервалах функция \( 5x^2 + 8x - 4 \) больше или равна нулю.
Разделим числовую ось на три интервала, основанных на корнях:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, \frac{2}{5}) \)
- \( (\frac{2}{5}, +\infty) \)
Теперь проверим знак функции в каждом из интервалов, подставляя тестовые значения.
- Интервал \( (-\infty, -2) \): Пусть \( x = -3 \):
\[ 5(-3)^2 + 8(-3) - 4 = 5 \cdot 9 - 24 - 4 = 45 - 24 - 4 = 17 \quad (> 0) \]
- Интервал \( (-2, \frac{2}{5}) \): Пусть \( x = 0 \):
\[ 5(0)^2 + 8(0) - 4 = -4 \quad (< 0) \]
- Интервал \( (\frac{2}{5}, +\infty) \): Пусть \( x = 1 \):
\[ 5(1)^2 + 8(1) - 4 = 5 + 8 - 4 = 9 \quad (> 0) \]
Шаг 5: Запишем итоговый ответ
На основании этих вычислений, функция \( 5x^2 + 8x - 4 \) больше или равна нулю на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [\frac{2}{5}, +\infty) \).
Итак, ответ для неравенства \( 5x^2 + 8x - 4 \geq 0 \):
\[ x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{2}{5}, +\infty) \]
Таким образом, мы нашли все решения данного неравенства. Если есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!
