Найди сумму первых девяти членов арифметической прогрессии {(a_n)}(a n ) , если {a_1 = 4}a 1 =4 , {d = -2}d=−2 .

Чтобы найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, нам понадобятся формула для n-го члена прогрессии и формула для суммы первых n членов.

Шаг 1: Определение n-го члена арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия задается следующим образом:

• Первый член прогрессии \( a_1 \)
• Разность \( d \)

n-й член прогрессии (в нашем случае \( a_n \)) можно определить по формуле: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Здесь, у нас:

• \( a_1 = 4 \)
• \( d = -2 \)

Шаг 2: Найдем первые 9 членов прогрессии

Посчитаем первые 9 членов прогрессии, подставляя значения в формулу:

1. \( a_1 = 4 \)
2. \( a_2 = 4 + (2-1)(-2) = 4 + (-2) = 2 \)
3. \( a_3 = 4 + (3-1)(-2) = 4 + (-4) = 0 \)
4. \( a_4 = 4 + (4-1)(-2) = 4 + (-6) = -2 \)
5. \( a_5 = 4 + (5-1)(-2) = 4 + (-8) = -4 \)
6. \( a_6 = 4 + (6-1)(-2) = 4 + (-10) = -6 \)
7. \( a_7 = 4 + (7-1)(-2) = 4 + (-12) = -8 \)
8. \( a_8 = 4 + (8-1)(-2) = 4 + (-14) = -10 \)
9. \( a_9 = 4 + (9-1)(-2) = 4 + (-16) = -12 \)

Таким образом, первые 9 членов прогрессии: \[ 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8, -10, -12 \]

Шаг 3: Формула для суммы n членов

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов
• \( n \) — количество членов
• \( a_1 \) — первый член
• \( a_n \) — n-й член

Подставим значения в формулу:

В нашем случае \( n = 9 \):

• \( a_1 = 4 \)
• \( a_9 = -12 \)

Теперь подставляем в формулу: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (4 + (-12)) = \frac{9}{2} \cdot (4 - 12) = \frac{9}{2} \cdot (-8) \]

Шаг 4: Вычисление суммы

Теперь вычислим: \[ S_9 = \frac{9 \cdot (-8)}{2} = \frac{-72}{2} = -36 \]

Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна \(-36\).