Докажите, что при любом х выражение кратно 9 (х + 4) (х + 5) - (1 - 4х) (1 + 4х) + (х2 - 1)

Для доказательства того, что выражение \( (x + 4)(x + 5) - (1 - 4x)(1 + 4x) + (x^2 - 1) \) кратно 9 при любом значении \( x \), мы начнем с упрощения данного выражения. ### Шаг 1: Упростим выражение Рассмотрим каждую часть выражения по отдельности. 1. **Первый член**: \( (x + 4)(x + 5) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x + 20 \) 2. **Второй член**: \( (1 - 4x)(1 + 4x) = 1^2 - (4x)^2 = 1 - 16x^2 \) 3. **Третий член**: \( x^2 - 1 \) — это разность квадратов, которая будет равна \( (x - 1)(x + 1) \), но для нашего анализа мы используем её в исходном виде. Теперь подставим все эти части в исходное выражение: \[ x^2 + 9x + 20 - (1 - 16x^2) + (x^2 - 1) \] ### Шаг 2: Объединим все части Теперь, упрощая, мы получаем: \[ x^2 + 9x + 20 - 1 + 16x^2 + x^2 - 1 \] Объединим подобные слагаемые: - Слагаемые с \( x^2 \): \[ x^2 + 16x^2 + x^2 = 18x^2 \] - Слагаемые с \( x \): \[ 9x \] - Константы: \[ 20 - 1 - 1 = 18 \] Таким образом, выражение сводится к: \[ 18x^2 + 9x + 18 \] ### Шаг 3: Вынесем общий множитель Теперь вынесем общий множитель из трёх слагаемых: \[ 9(2x^2 + x + 2) \] ### Шаг 4: Проверим кратность Мы видим, что общее выражение содержит множитель 9, что означает, что выражение \( 18x^2 + 9x + 18 \) всегда кратно 9 для любого значения \( x \). ### Заключение Таким образом, мы доказали, что выражение \( (x + 4)(x + 5) - (1 - 4x)(1 + 4x) + (x^2 - 1) \) является кратным 9 при любом значении \( x \).