Докажите, что при любом х выражение кратно 9 (х + 4) (х + 5) - (1 - 4х) (1 + 4х) + (х2 - 1)
Для доказательства того, что выражение \( (x + 4)(x + 5) - (1 - 4x)(1 + 4x) + (x^2 - 1) \) кратно 9 при любом значении \( x \), мы начнем с упрощения данного выражения.
Шаг 1: Упростим выражение
Рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.
Первый член:
\( (x + 4)(x + 5) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x + 20 \)Второй член:
\( (1 - 4x)(1 + 4x) = 1^2 - (4x)^2 = 1 - 16x^2 \)Третий член:
\( x^2 - 1 \) — это разность квадратов, которая будет равна \( (x - 1)(x + 1) \), но для нашего анализа мы используем её в исходном виде.
Теперь подставим все эти части в исходное выражение:
\[ x^2 + 9x + 20 - (1 - 16x^2) + (x^2 - 1) \]
Шаг 2: Объединим все части
Теперь, упрощая, мы получаем:
\[ x^2 + 9x + 20 - 1 + 16x^2 + x^2 - 1 \]
Объединим подобные слагаемые:
Слагаемые с \( x^2 \): \[ x^2 + 16x^2 + x^2 = 18x^2 \]
Слагаемые с \( x \): \[ 9x \]
Константы: \[ 20 - 1 - 1 = 18 \]
Таким образом, выражение сводится к:
\[ 18x^2 + 9x + 18 \]
Шаг 3: Вынесем общий множитель
Теперь вынесем общий множитель из трёх слагаемых:
\[ 9(2x^2 + x + 2) \]
Шаг 4: Проверим кратность
Мы видим, что общее выражение содержит множитель 9, что означает, что выражение \( 18x^2 + 9x + 18 \) всегда кратно 9 для любого значения \( x \).
Заключение
Таким образом, мы доказали, что выражение \( (x + 4)(x + 5) - (1 - 4x)(1 + 4x) + (x^2 - 1) \) является кратным 9 при любом значении \( x \).
