1. Постройте треугольник, в котором одна из сторон равна 3 см, смежная с ней сторона равна 5 см. Косинус угла между ними равен 0.5. Найдите третью сторону треугольника.
Для решения этой задачи мы будем использовать теорему косинусов. Эта теорема позволяет нам найти длину стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Давайте подробнее разберем задачу шаг за шагом.
Данные задачи
- Две стороны треугольника: \( a = 3 \, \text{см} \) и \( b = 5 \, \text{см} \)
- Косинус угла между ними: \( \cos(C) = 0.5 \)
Так как косинус угла равен 0.5, мы можем определить угол \( C \): \[ C = \arccos(0.5) = 60^\circ \]
Теорема косинусов
Теорема косинусов звучит следующим образом: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где \( c \) — это сторона, противолежащая углу \( C \).
Подстановка значений
Подставляем известные значения для нахождения третьей стороны \( c \): \[ c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) \]
Значение \( \cos(60^\circ) = 0.5 \): \[ c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 0.5 \]
Теперь вычислим каждую часть: \[ 3^2 = 9 \] \[ 5^2 = 25 \] \[ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 0.5 = 15 \]
Подставляем все обратно в уравнение: \[ c^2 = 9 + 25 - 15 \] \[ c^2 = 34 - 15 \] \[ c^2 = 19 \]
Нахождение длины стороны \( c \)
Теперь найдём длину стороны \( c \) взяв квадратный корень: \[ c = \sqrt{19} \approx 4.36 \, \text{см} \]
Ответ
Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет approximately 4.36 см.
