3. Составить уравнение образа окружности х²+у² +4x-10y-20=0 при повороте на 90 по часовой стрелке относительно начала координат. Решение изобразите на координатной плоскости.

Для решения этой задачи нам нужно сначала выразить уравнение окружности в стандартной форме, а затем выполнить поворот на 90 градусов по часовой стрелке и, наконец, изобразить результат на координатной плоскости. ### Шаг 1: Приведение уравнения окружности к стандартному виду Дано уравнение окружности: \[ x^2 + y^2 + 4x - 10y - 20 = 0 \] Сначала нужно привести его к стандартной форме уравнения окружности \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\): 1. Группируем \(x\)- и \(y\)-слагаемые: \[ (x^2 + 4x) + (y^2 - 10y) = 20 \] 2. Применяем метод completing the square (дополнение до полного квадрата): Для \(x^2 + 4x\) добавим и вычтем \(4\) (то есть \((\frac{4}{2})^2\)): \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] Для \(y^2 - 10y\) добавим и вычтем \(25\) (то есть \((\frac{-10}{2})^2\)): \[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25 \] Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ ((x + 2)^2 - 4) + ((y - 5)^2 - 25) = 20 \] Упрощаем: \[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 - 29 = 20 \] Добавим 29 ко всем частям: \[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49 \] Теперь мы видим, что у нас есть окружность с центром \((-2, 5)\) и радиусом \(r = 7\) (так как \(r^2 = 49\)). ### Шаг 2: Поворот окружности на 90 градусов по часовой стрелке Чтобы выполнить поворот точки \((x, y)\) вокруг начала координат на 90 градусов по часовой стрелке, применяется следующая формула: \[ (x', y') = (y, -x) \] Теперь применим эту формулу к центру окружности \((-2, 5)\): - \(x' = y = 5\) - \(y' = -x = -(-2) = 2\) Таким образом, новый центр окружности после поворота будет \((5, 2)\). ### Шаг 3: Уравнение новой окружности Теперь у нас новый центр окружности \((5, 2)\) и тот же радиус \(7\). Таким образом, уравнение новой окружности будет: \[ (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 49 \] ### Шаг 4: Представление на координатной плоскости Теперь изобразим окружность с центром в \((5, 2)\) и радиусом \(7\). Чтобы изобразить окружность, мы можем сделать следующее: 1. На графике обозначьте центр окружности точкой \(C(5, 2)\). 2. Радиус \(7\) обозначает, что мы будем проводить окружность, проходящую через точки: - \( (5 + 7, 2) = (12, 2) \) - \( (5 - 7, 2) = (-2, 2) \) - \( (5, 2 + 7) = (5, 9) \) - \( (5, 2 - 7) = (5, -5) \) 3. Проведите гладкую кривую (окружность) через эти точки, чтобы окончательно изобразить новую окружность. Таким образом, мы преобразовали уравнение окружности и выполнили все необходимые шаги! Если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь спрашивать.