Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи мы будем использовать свойства квадратичных функций. Первым делом, давайте представим зависимость поступлений \( R \) (в миллиардах фантиков) от ставки налога \( x \) (в процентах) в виде квадратичной функции:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c, \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) - некоторые коэффициенты.
Сначала мы используем известные данные из задачи, чтобы составить систему уравнений. У нас есть следующие точки:
- \( R(10) = 1,3 \)
- \( R(33) = 1,3 \)
- \( R(27) = 1,6 \)
Теперь подставим эти точки в уравнение \( R(x) \).
Для \( x = 10 \): \[ R(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1,3 \quad \Rightarrow \quad 100a + 10b + c = 1,3 \]
Для \( x = 33 \): \[ R(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1,3 \quad \Rightarrow \quad 1089a + 33b + c = 1,3 \]
Для \( x = 27 \): \[ R(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1,6 \quad \Rightarrow \quad 729a + 27b + c = 1,6 \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ \begin{align*} 100a + 10b + c &= 1.3 \quad (1)\\ 1089a + 33b + c &= 1.3 \quad (2)\\ 729a + 27b + c &= 1.6 \quad (3) \end{align*} \]
Чтобы упростить решение, вычтем первое уравнение из второго и третьего:
\[ (2) - (1): \quad (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) = 1.3 - 1.3 \quad \Rightarrow \quad 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
\[ (3) - (1): \quad (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) = 1.6 - 1.3 \quad \Rightarrow \quad 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Теперь у нас есть две новые уравнения:
\[ \begin{align*} 989a + 23b &= 0 \quad (4)\\ 629a + 17b &= 0.3 \quad (5) \end{align*} \]
Теперь выразим \( b \) через \( a \) из уравнения (4):
\[ b = -\frac{989}{23} a \quad (6) \]
Теперь подставим (6) в уравнение (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \]
Умножим всё уравнение на 23, чтобы избавиться от дроби:
\[ 14467a - 16703a = 6.9 \]
Объединим подобные:
\[ -2229a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2229} \approx -0.00309 \]
Теперь подставим значение \( a \) обратно в уравнение (6), чтобы найти \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} \cdot \left(-\frac{6.9}{2229}\right) \approx 0.1972 \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из изначальных уравнений, чтобы найти \( c \). Используем (1):
\[ 100\left(-0.00309\right) + 10(0.1972) + c = 1.3 \]
Решаем:
\[ -0.309 + 1.972 + c = 1.3 \quad \Rightarrow \quad c = 1.3 - 1.663 \approx -0.363 \]
Теперь у нас есть коэффициенты нашей функции:
\[ R(x) = -0.00309x^2 + 0.1972x - 0.363 \]
Квадратичная функция достигает максимума в вершине параболы, которая находится по формуле:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1972}{2 \cdot (-0.00309)} \approx 31.9 \]
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов для максимизации поступлений в бюджет Тридевятого царства составляет примерно 32%.
