Для решения этой задачи мы будем использовать свойства квадратичных функций. Первым делом, давайте представим зависимость поступлений ( R ) (в миллиардах фантиков) от ставки налога ( x ) (в процентах) в виде квадратичной функции:
[
R(x) = ax^2 + bx + c,
]
где ( a ), ( b ) и ( c ) - некоторые коэффициенты.
Сначала мы используем известные данные из задачи, чтобы составить систему уравнений. У нас есть следующие точки:
- ( R(10) = 1,3 )
- ( R(33) = 1,3 )
- ( R(27) = 1,6 )
Теперь подставим эти точки в уравнение ( R(x) ).
Для ( x = 10 ):
[
R(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1,3 \quad \Rightarrow \quad 100a + 10b + c = 1,3
]
Для ( x = 33 ):
[
R(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1,3 \quad \Rightarrow \quad 1089a + 33b + c = 1,3
]
Для ( x = 27 ):
[
R(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1,6 \quad \Rightarrow \quad 729a + 27b + c = 1,6
]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными ( a ), ( b ) и ( c ):
[
\begin{align*}
100a + 10b + c &= 1.3 \quad (1)\
1089a + 33b + c &= 1.3 \quad (2)\
729a + 27b + c &= 1.6 \quad (3)
\end{align*}
]
Чтобы упростить решение, вычтем первое уравнение из второго и третьего:
[
(2) - (1): \quad (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) = 1.3 - 1.3 \quad \Rightarrow \quad 989a + 23b = 0 \quad (4)
]
[
(3) - (1): \quad (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) = 1.6 - 1.3 \quad \Rightarrow \quad 629a + 17b = 0.3 \quad (5)
]
Теперь у нас есть две новые уравнения:
[
\begin{align*}
989a + 23b &= 0 \quad (4)\
629a + 17b &= 0.3 \quad (5)
\end{align*}
]
Теперь выразим ( b ) через ( a ) из уравнения (4):
[
b = -\frac{989}{23} a \quad (6)
]
Теперь подставим (6) в уравнение (5):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3
]
Умножим всё уравнение на 23, чтобы избавиться от дроби:
[
14467a - 16703a = 6.9
]
Объединим подобные:
[
-2229a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2229} \approx -0.00309
]
Теперь подставим значение ( a ) обратно в уравнение (6), чтобы найти ( b ):
[
b = -\frac{989}{23} \cdot \left(-\frac{6.9}{2229}\right) \approx 0.1972
]
Теперь подставим ( a ) и ( b ) в одно из изначальных уравнений, чтобы найти ( c ). Используем (1):
[
100\left(-0.00309\right) + 10(0.1972) + c = 1.3
]
Решаем:
[
-0.309 + 1.972 + c = 1.3 \quad \Rightarrow \quad c = 1.3 - 1.663 \approx -0.363
]
Теперь у нас есть коэффициенты нашей функции:
[
R(x) = -0.00309x^2 + 0.1972x - 0.363
]
Квадратичная функция достигает максимума в вершине параболы, которая находится по формуле:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1972}{2 \cdot (-0.00309)} \approx 31.9
]
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов для максимизации поступлений в бюджет Тридевятого царства составляет примерно 32%.
