### Решение контрольной работы № 3. Функции и их свойства #### Вариант 1 --- ### Задача 1: Рассмотрим функцию \( y = -4x + 1 \) 1. При каких значениях аргумента \( f(x) = 0 \)…
### Решение контрольной работы № 3. Функции и их свойства #### Вариант 1 --- ### Задача 1: Рассмотрим функцию \( y = -4x + 1 \) 1. При каких значениях аргумента \( f(x) = 0 \) Чтобы найти, при каких значениях аргумента \( x \) функция равна нулю, решим уравнение: \[ -4x + 1 = 0 \] Переносим 1 через равенство: \[ -4x = -1 \] Разделяем обе стороны на -4: \[ x = \frac{1}{4} \] Значит, \( f(x) = 0 \) при \( x = \frac{1}{4} \). 2. Для определения \( f'(x) < 0 \) Находим производную функции: \[ f'(x) = -4 \] Производная отрицательна \( (f'(x) < 0) \) для любого \( x \). Это означает, что функция убывает на всей своей области определения. 3. Для определения \( f(x) > 0 \) Чтобы понять, когда \( y > 0 \): \[ -4x + 1 > 0 \] Решим неравенство: \[ -4x > -1 \] Разделим обе стороны на -4 (при этом знак неравенства изменится): \[ x < \frac{1}{4} \] Таким образом, функция положительна для всех \( x < \frac{1}{4} \). 4. Возрастающая или убывающая функция? Поскольку производная функции \( -4 \) всегда отрицательна, можно с уверенностью сказать, что функция убывающая. --- ### Задача 2: Найдите область определения функции 1. Для \( y = \sqrt{5x - 2} \) Область определения корня: \[ 5x - 2 \geq 0 \] Решим это неравенство: \[ 5x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{5} \] Значит, область определения: \( x \geq \frac{2}{5} \) или \( [\frac{2}{5}, +\infty) \). 2. Для \( y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3} \) Найдем, при каких \( x \) знаменатель равен нулю: \[ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \] Находим корни: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4} \] Корни: \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -\frac{1}{2} \] Знаменатель равен нулю в точках \( x = 3 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). Поэтому область определения: \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 3) \cup (3, +\infty) \). --- ### Задача 3: Постройте график функции \( y = x^2 + 4x - 5 \) 1. Область определения и область значения Это квадратичная функция, область определения: \( (-\infty, +\infty) \). Чтобы найти область значений, находим вершину параболы: Вершина: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \] Подставляем \( x = -2 \) в уравнение: \[ y = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Парабола открыта вверх, значит, область значений \( [-9, +\infty) \). 2. Нули функции Решаем уравнение: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Найдем корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] Корни: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -5 \] 3. Промежутки знакопостоянства Функция меняет знак в точках \( x = -5 \) и \( x = 1 \): - \( (-\infty, -5) \): \( y > 0 \) (положительна) - \( (-5, 1) \): \( y < 0 \) (отрицательна) - \( (1, +\infty) \): \( y > 0 \) (положительна) 4. Промежутки возрастания и убывания Находим производную: \[ y' = 2x + 4 \] Приравниваем к нулю: \[ 2x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] - Убывает на \( (-\infty, -2) \) - Возрастает на \( (-2, +\infty) \) 5. Наименьшее и наибольшее значения функции Наименьшее значение функции: \( y = -9 \) при \( x = -2 \). Наибольшие значения не ограничены: \( +\infty \). --- Таким образом, мы подробно рассмотрели все задачи контрольной работы по функциям и их свойствам. Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!
Решение контрольной работы № 3. Функции и их свойства
Вариант 1
Задача 1: Рассмотрим функцию \( y = -4x + 1 \)
При каких значениях аргумента \( f(x) = 0 \)
Чтобы найти значения \( x \), при которых функция равна нулю, решаем уравнение:
\[ -4x + 1 = 0 \]
Переносим 1 через равенство:
\[ -4x = -1 \]
Теперь делим обе стороны на -4 (не забываем, что знак неравенства не меняется):
\[ x = \frac{1}{4} \]
Значит, функция равна нулю при \( x = \frac{1}{4} \).
Для определения \( f'(x) < 0 \)
Находим производную функции \( f(x) = -4x + 1 \):
\[ f'(x) = -4 \]
Поскольку производная всегда отрицательна \( (f'(x) < 0) \) для любых значений \( x \), это указывает на то, что функция убывает на всей своей области определения.
Для определения \( f(x) > 0 \)
Чтобы выяснить, когда \( y > 0 \):
\[ -4x + 1 > 0 \]
Решим это неравенство:
\[ -4x > -1 \]
Делим обе стороны на -4 (при этом меняем знак неравенства):
\[ x < \frac{1}{4} \]
Таким образом, функция положительна для всех \( x < \frac{1}{4} \).
Возрастающая или убывающая функция?
Так как производная функции равна -4 и это значение отрицательно, мы можем с уверенностью сказать, что функция убывает на всем интервале её определения.
Задача 2: Найдите область определения функции
Для \( y = \sqrt{5x - 2} \)
Область определения для корня квадратного:
\[ 5x - 2 \geq 0 \]
Решим это неравенство:
\[ 5x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{5} \]
Таким образом, область определения: \( x \geq \frac{2}{5} \) или \( [\frac{2}{5}, +\infty) \).
Для \( y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3} \)
Находим, при каких \( x \) знаменатель равен нулю:
\[ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \]
Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4} \]
Корни уравнения:
\[ x_1 = 3, \quad x_2 = -\frac{1}{2} \]
Знаменатель равен нулю в точках \( x = 3 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). Поэтому область определения:
\[ (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 3) \cup (3, +\infty) \]
Задача 3: Постройте график функции \( y = x^2 + 4x - 5 \)
Область определения и область значения
Это квадратичная функция, обладающая областью определения:
\[ (-\infty, +\infty) \]
Для нахождения области значений находим вершину параболы:
Вершина расположена в:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \]
Подставим \( x = -2 \) в уравнение, чтобы найти соответствующее значение \( y \):
\[ y = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \]
Парабола открыта вверх, следовательно, область значений:
\[ [-9, +\infty) \]
Нули функции
Решаем уравнение:
\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Теперь вычислим корни:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]
Корни:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -5 \]
Промежутки знакопостоянства
Функция меняет знак в точках \( x = -5 \) и \( x = 1 \):
- \( (-\infty, -5) \): \( y > 0 \) (функция положительна)
- \( (-5, 1) \): \( y < 0 \) (функция отрицательна)
- \( (1, +\infty) \): \( y > 0 \) (функция положительна)
Промежутки возрастания и убывания
Находим производную:
\[ y' = 2x + 4 \]
Приравниваем к нулю:
\[ 2x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]
Изучим, на каких интервалах функция возрастает и убывает:
- Убывает на \( (-\infty, -2) \)
- Возрастает на \( (-2, +\infty) \)
Наименьшее и наибольшее значения функции
Наименьшее значение функции: \( y = -9 \) при \( x = -2 \). Наибольшие значения функции не ограничены: \( +\infty \).
Таким образом, мы подробно рассмотрели все задачи контрольной работы по функциям и их свойствам. Если у вас остаются вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!
