Давайте обозначим первый игральный кубик как ( K_1 ) (обычный кубик с гранями от 1 до 6), а второй кубик как ( K_2 ) (кубик с гранями, где 1 и 2 встречаются трижды, т.е. грани: 1, 1, 1, 2, 2, 2).
Сначала найдем вероятность того, что выпали 1 и 2 на каждом из кубиков, и затем применим формулу Байеса.
Шаг 1: Вероятности для каждого кубика
Для кубика ( K_1 ): события, при которых выпали 1 и 2, могут произойти в двух вариантах:
- Первый бросок: 1, второй бросок: 2 (вероятность = ( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} ))
- Первый бросок: 2, второй бросок: 1 (вероятность = ( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} ))
Общая вероятность для кубика ( K_1 ):
[
P(A | K_1) = P(1, 2) + P(2, 1) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}
]
Для кубика ( K_2 ): события, при которых выпали 1 и 2, также могут произойти в двух вариантах:
- Первый бросок: 1, второй бросок: 2 (вероятность = ( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ))
- Первый бросок: 2, второй бросок: 1 (вероятность = ( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ))
Общая вероятность для кубика ( K_2 ):
[
P(A | K_2) = P(1, 2) + P(2, 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Вероятности выбора кубиков
Так как кубики выбираются случайно, вероятность выбора любого кубика равна ( \frac{1}{2} ):
[
P(K_1) = P(K_2) = \frac{1}{2}
]
Шаг 3: Полная вероятность события ( A )
Используем формулу полной вероятности для события ( A ):
[
P(A) = P(A | K_1) P(K_1) + P(A | K_2) P(K_2)
]
[
P(A) = \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{4} = \frac{1}{36} + \frac{9}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}
]
Шаг 4: Применяем формулу Байеса
Чтобы найти вероятность того, что бросали второй кубик ( K_2 ) при условии, что выпали 1 и 2 (( A )):
[
P(K_2 | A) = \frac{P(A | K_2) P(K_2)}{P(A)}
]
[
P(K_2 | A) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{18}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{18}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{18}{5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}
]
Итак, вероятность того, что бросали второй кубик, равна ( \frac{9}{10} ).
