Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный…
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очка. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Давайте обозначим первый игральный кубик как \( K_1 \) (обычный кубик с гранями от 1 до 6), а второй кубик как \( K_2 \) (кубик с гранями, где 1 и 2 встречаются трижды, т.е. грани: 1, 1, 1, 2, 2, 2).
Сначала найдем вероятность того, что выпали 1 и 2 на каждом из кубиков, и затем применим формулу Байеса.
Шаг 1: Вероятности для каждого кубика
Для кубика \( K_1 \): события, при которых выпали 1 и 2, могут произойти в двух вариантах:
- Первый бросок: 1, второй бросок: 2 (вероятность = \( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \))
- Первый бросок: 2, второй бросок: 1 (вероятность = \( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \))
Общая вероятность для кубика \( K_1 \): \[ P(A | K_1) = P(1, 2) + P(2, 1) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]
Для кубика \( K_2 \): события, при которых выпали 1 и 2, также могут произойти в двух вариантах:
- Первый бросок: 1, второй бросок: 2 (вероятность = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \))
- Первый бросок: 2, второй бросок: 1 (вероятность = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \))
Общая вероятность для кубика \( K_2 \): \[ P(A | K_2) = P(1, 2) + P(2, 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Вероятности выбора кубиков
Так как кубики выбираются случайно, вероятность выбора любого кубика равна \( \frac{1}{2} \): \[ P(K_1) = P(K_2) = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Полная вероятность события \( A \)
Используем формулу полной вероятности для события \( A \): \[ P(A) = P(A | K_1) P(K_1) + P(A | K_2) P(K_2) \] \[ P(A) = \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{4} = \frac{1}{36} + \frac{9}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \]
Шаг 4: Применяем формулу Байеса
Чтобы найти вероятность того, что бросали второй кубик \( K_2 \) при условии, что выпали 1 и 2 (\( A \)): \[ P(K_2 | A) = \frac{P(A | K_2) P(K_2)}{P(A)} \] \[ P(K_2 | A) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{18}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{18}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{18}{5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \]
Итак, вероятность того, что бросали второй кубик, равна \( \frac{9}{10} \).
