4/x^5-(1-2x)^5 найти первообразную

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^5 \), решим задачу по шагам.

Шаг 1: Разделим функцию на две части

Функцию можно переписать как сумму двух функций: \[ f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^5 \]

Теперь мы найдем первообразную каждой из этих частей по отдельности.

Шаг 2: Найдем первообразную первой части

Первая часть: \[ f_1(x) = \frac{4}{x^5} = 4x^{-5} \] Чтобы найти первообразную, воспользуемся формулой: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \]

В нашем случае \( n = -5 \): \[ \int 4x^{-5} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = -x^{-4} + C_1 = -\frac{1}{x^4} + C_1 \]

Шаг 3: Найдем первообразную второй части

Вторая часть: \[ f_2(x) = -(1 - 2x)^5 \] Мы воспользуемся заменой переменной. Пусть \( u = 1 - 2x \), тогда \( du = -2 \, dx \) или \( dx = -\frac{1}{2} \, du \). Перепишем интеграл: \[ \int -(1 - 2x)^5 \, dx = \int -u^5 \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = \frac{1}{2} \int u^5 \, du \]

Теперь находим первообразную: \[ \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C \] Подставляем обратно: \[ \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{(1 - 2x)^6}{6} \right) + C_2 = \frac{(1 - 2x)^6}{12} + C_2 \]

Шаг 4: Объединим результаты

Теперь мы можем объединить обе части, чтобы получить полную первообразную: \[ F(x) = -\frac{1}{x^4} + \frac{(1 - 2x)^6}{12} + C \] где \( C \) — произвольная константа, которая объединяет все \( C_1 \) и \( C_2 \).

Итог

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{4}{x^5} - (1 - 2x)^5 \) равна: \[ F(x) = -\frac{1}{x^4} + \frac{(1 - 2x)^6}{12} + C \]

Теперь вы можете использовать эту результат для дальнейших расчетов или анализа. Если есть вопросы по шагам, не стесняйтесь спрашивать!