x-y=1 x²-y²=5
Чтобы решить систему уравнений, заданную уравнениями \(x - y = 1\) и \(x^2 - y^2 = 5\), давайте сначала разберемся, что представляют собой эти уравнения.
Шаг 1: Разберем первое уравнение
Первое уравнение:
\[ x - y = 1 \]
Это уравнение описывает линейную зависимость между переменными \(x\) и \(y\). Можно выразить \(x\) через \(y\):
\[ x = y + 1 \]
Шаг 2: Подставим во второе уравнение
Теперь подставим выражение для \(x\) в второе уравнение:
\[ x^2 - y^2 = 5 \]
Заменим \(x\):
\[ (y + 1)^2 - y^2 = 5 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Теперь раскроем скобки:
\[ (y^2 + 2y + 1) - y^2 = 5 \]
Упростим:
\[ 2y + 1 = 5 \]
Шаг 4: Найдем \(y\)
Теперь решим уравнение для \(y\):
\[ 2y = 5 - 1 \]
\[ 2y = 4 \]
\[ y = 2 \]
Шаг 5: Найдем \(x\)
Теперь, когда мы нашли \(y\), можем найти \(x\) подставив \(y\) обратно в первое уравнение:
\[ x = y + 1 = 2 + 1 = 3 \]
Ответ
Таким образом, мы получили решение системы уравнений:
\[ x = 3, \quad y = 2 \]
Проверка решения
Для проверки можем подставить найденные значения обратно в оба уравнения:
- Первое уравнение:
\[ 3 - 2 = 1 \quad \text{(в данном уравнении верно)} \]
- Второе уравнение:
\[ 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \quad \text{(в данном уравнении также верно)} \]
Все верно! Решение \(x = 3\) и \(y = 2\) удовлетворяет обоим уравнениям системы.
