Для решения задачи начнем с определения ключевых понятий и шагов.
Шаг 1: Найти радиус окружности
Площадь квадрата описанного около окружности равна 36 см². Площадь квадрата ( S ) можно выразить через его сторону ( a ):
[
S = a^2
]
Значит, сторона квадрата равна:
[
a = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}
]
Для квадрата, описанного около окружности, радиус окружности ( R ) равен половине длины стороны квадрата:
[
R = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}
]
Шаг 2: Найти площадь правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник, вписанный в окружность, состоит из 6 равносторонних треугольников, основанием каждого из которых является радиус окружности, а высота — это высота равностороннего треугольника.
Площадь одного равностороннего треугольника ( S_t ) может быть найдена по формуле:
[
S_t = \frac{a_t^2 \sqrt{3}}{4}
]
где ( a_t ) — длина стороны равностороннего треугольника. В нашем случае длина стороны равностороннего треугольника равна радиусу окружности, то есть ( a_t = R = 3 ) см. Таким образом, площадь одного треугольника:
[
S_t = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2
]
Так как шестиугольник состоит из 6 таких треугольников, общая площадь ( S_h ) правильного шестиугольника будет:
[
S_h = 6 \cdot S_t = 6 \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{54 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} \text{ см}^2
]
Ответ
Таким образом, площадь правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность, равна:
[
\frac{27 \sqrt{3}}{2} \text{ см}^2
]
Итог
Мы нашли радиус окружности, используя площадь описанного квадрата, а затем вычислили площадь вписанного правильного шестиугольника, используя его геометрические свойства. Если есть дополнительные вопросы или требуется объяснение по другим аспектам задачи, дайте знать!
