площадь квадрата описанного около окружности равна 36 см² найдите площадь правильного шестиугольника вписанного в ту же окружность

Для решения задачи начнем с определения ключевых понятий и шагов.

Шаг 1: Найти радиус окружности

Площадь квадрата описанного около окружности равна 36 см². Площадь квадрата \( S \) можно выразить через его сторону \( a \):

\[ S = a^2 \]

Значит, сторона квадрата равна:

\[ a = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

Для квадрата, описанного около окружности, радиус окружности \( R \) равен половине длины стороны квадрата:

\[ R = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]

Шаг 2: Найти площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник, вписанный в окружность, состоит из 6 равносторонних треугольников, основанием каждого из которых является радиус окружности, а высота — это высота равностороннего треугольника.

Площадь одного равностороннего треугольника \( S_t \) может быть найдена по формуле:

\[ S_t = \frac{a_t^2 \sqrt{3}}{4} \]

где \( a_t \) — длина стороны равностороннего треугольника. В нашем случае длина стороны равностороннего треугольника равна радиусу окружности, то есть \( a_t = R = 3 \) см. Таким образом, площадь одного треугольника:

\[ S_t = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]

Так как шестиугольник состоит из 6 таких треугольников, общая площадь \( S_h \) правильного шестиугольника будет:

\[ S_h = 6 \cdot S_t = 6 \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{54 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \]

Ответ

Таким образом, площадь правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность, равна:

\[ \frac{27 \sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \]

Итог

Мы нашли радиус окружности, используя площадь описанного квадрата, а затем вычислили площадь вписанного правильного шестиугольника, используя его геометрические свойства. Если есть дополнительные вопросы или требуется объяснение по другим аспектам задачи, дайте знать!