Сколько существует подмножеств множества {1,...,12} , содержащих ровно одну пару последовательных чисел?

Чтобы найти количество подмножеств множества \(\{1, 2, 3, \ldots, 12\}\), содержащих ровно одну пару последовательных чисел, давайте разберём задачу по шагам.

Шаг 1: Определим пары последовательных чисел

В множестве \(\{1, 2, 3, \ldots, 12\}\) возможны следующие пары последовательных чисел:

• (1, 2)
• (2, 3)
• (3, 4)
• (4, 5)
• (5, 6)
• (6, 7)
• (7, 8)
• (8, 9)
• (9, 10)
• (10, 11)
• (11, 12)

Таким образом, у нас есть 11 пар последовательных чисел.

Шаг 2: Выбор одной пары

Мы можем выбрать одну из этих 11 пар. Для каждой выбранной пары, нам нужно будет определить, какие ещё числа могут входить в подмножество без того, чтобы создавать новые пары последовательных чисел.

Шаг 3: Определим, что можно добавлять

Рассмотрим, например, пару (1, 2):

• Если мы выбрали (1, 2), то числа 3 и 0 не могут быть включены (здесь 0 не входит в наше множество, просто для пояснения), т.е. мы можем добавлять числа:
  • 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (всех кроме 3).

Таким образом, для каждой пары \((a, b)\) (где \(b = a + 1\)), мы можем выбирать оставшиеся числа, начиная от \(b + 1\):

1. Для пары (1, 2): можем выбирать числа из \(\{3, 4, \ldots, 12\}\) (9 чисел).
2. Для пары (2, 3): можем выбирать числа из \(\{1, 4, 5, \ldots, 12\}\) (10 чисел).
3. Для пары (3, 4): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 5, 6, \ldots, 12\}\) (10 чисел).
4. Для пары (4, 5): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 6, 7, \ldots, 12\}\) (10 чисел).
5. Для пары (5, 6): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\) (10 чисел).
6. Для пары (6, 7): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12\}\) (10 чисел).
7. Для пары (7, 8): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12\}\) (10 чисел).
8. Для пары (8, 9): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12\}\) (10 чисел).
9. Для пары (9, 10): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12\}\) (10 чисел).
10. Для пары (10, 11): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12\}\) (10 чисел).
11. Для пары (11, 12): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) (10 чисел).

Шаг 4: Подсчитаем количество подмножеств для каждой пары

Для первой пары (1, 2) у нас 9 чисел, и количество подмножеств из 9 чисел равно \(2^9\).

Для каждой из остальных пар, за исключением (1, 2) и (11, 12) (где мы допускаем одну пару), у нас остается 10 чисел, что дает \(2^{10}\) подмножеств.

Шаг 5: Подаем итоговый подсчет

Итак, всего подмножеств:

1. Для пары (1, 2): \(2^9 = 512\)
2. Для всех остальных пар (2-11): \(10 \times 2^{10} = 10 \times 1024 = 10240\)
3. Для пары (11, 12): \(2^9 = 512\)

Общий итог:
\[ 512 + 10240 + 512 = 11264 \]

Ответ

Таким образом, количество подмножеств множества \(\{1, 2, \ldots, 12\}\), содержащих ровно одну пару последовательных чисел, равно 11264.