Сколько существует подмножеств множества {1,...,12} , содержащих ровно одну пару последовательных чисел?

Чтобы найти количество подмножеств множества \(\{1, 2, 3, \ldots, 12\}\), содержащих ровно одну пару последовательных чисел, давайте разберём задачу по шагам. ### Шаг 1: Определим пары последовательных чисел В множестве \(\{1, 2, 3, \ldots, 12\}\) возможны следующие пары последовательных чисел: - (1, 2) - (2, 3) - (3, 4) - (4, 5) - (5, 6) - (6, 7) - (7, 8) - (8, 9) - (9, 10) - (10, 11) - (11, 12) Таким образом, у нас есть 11 пар последовательных чисел. ### Шаг 2: Выбор одной пары Мы можем выбрать одну из этих 11 пар. Для каждой выбранной пары, нам нужно будет определить, какие ещё числа могут входить в подмножество без того, чтобы создавать новые пары последовательных чисел. ### Шаг 3: Определим, что можно добавлять Рассмотрим, например, пару (1, 2): - Если мы выбрали (1, 2), то числа 3 и 0 не могут быть включены (здесь 0 не входит в наше множество, просто для пояснения), т.е. мы можем добавлять числа: - 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (всех кроме 3). Таким образом, для каждой пары \((a, b)\) (где \(b = a + 1\)), мы можем выбирать оставшиеся числа, начиная от \(b + 1\): 1. Для пары (1, 2): можем выбирать числа из \(\{3, 4, \ldots, 12\}\) (9 чисел). 2. Для пары (2, 3): можем выбирать числа из \(\{1, 4, 5, \ldots, 12\}\) (10 чисел). 3. Для пары (3, 4): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 5, 6, \ldots, 12\}\) (10 чисел). 4. Для пары (4, 5): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 6, 7, \ldots, 12\}\) (10 чисел). 5. Для пары (5, 6): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\) (10 чисел). 6. Для пары (6, 7): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12\}\) (10 чисел). 7. Для пары (7, 8): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12\}\) (10 чисел). 8. Для пары (8, 9): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12\}\) (10 чисел). 9. Для пары (9, 10): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12\}\) (10 чисел). 10. Для пары (10, 11): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12\}\) (10 чисел). 11. Для пары (11, 12): можем выбирать числа из \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) (10 чисел). ### Шаг 4: Подсчитаем количество подмножеств для каждой пары Для первой пары (1, 2) у нас 9 чисел, и количество подмножеств из 9 чисел равно \(2^9\). Для каждой из остальных пар, за исключением (1, 2) и (11, 12) (где мы допускаем одну пару), у нас остается 10 чисел, что дает \(2^{10}\) подмножеств. ### Шаг 5: Подаем итоговый подсчет Итак, всего подмножеств: 1. Для пары (1, 2): \(2^9 = 512\) 2. Для всех остальных пар (2-11): \(10 \times 2^{10} = 10 \times 1024 = 10240\) 3. Для пары (11, 12): \(2^9 = 512\) Общий итог: \[ 512 + 10240 + 512 = 11264 \] ### Ответ Таким образом, количество подмножеств множества \(\{1, 2, \ldots, 12\}\), содержащих ровно одну пару последовательных чисел, равно **11264**.