tg³ 45°* sin 45°:tg² 30°: sin³ 45°=

Рассмотрим данную задачу: \( \frac{\tan^3 45^\circ \cdot \sin 45^\circ}{\tan^2 30^\circ \cdot \sin^3 45^\circ} \).

Для решения начнем с нахождения значений тригонометрических функций.

1. Находим значения тригонометрических функций:

   • \( \tan 45^\circ = 1 \)
   • \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

2. Теперь подставим эти значения в выражение:

   • \( \tan^3 45^\circ = 1^3 = 1 \)
   • \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( \tan^2 30^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)
   • \( \sin^3 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{2})^3}{2^3} = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)

3. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \[ = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}} \]

4. Упростим выражение:

   • В числителе: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • В знаменателе: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{12} \)

5. Теперь у нас выходит: \[ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{12}} \]

6. Чтобы выполнить деление дробей, нужно умножить на обратную: \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12}{2} = 6 \]

Итак, окончательный ответ: \[ \boxed{6} \]

Таким образом, весь процесс включает в себя нахождение значений тригонометрических функций, подстановку их в выражение и упрощение. Это позволяет понять структуру и решение подобных задач.