Взяли одну обычную игральную кость и вторую, у которой на гранях встречаются только числа  2 2 и  5 5 по  3 3 раза каждое. В остальном эти игральные кости одинаковые. Случайным образом выбрали одну игральную кость из этой пары и бросили дважды. Известно, что в каком-то порядке выпали числа  5 5 и  2 2. Найди вероятность того, что кидали вторую кость.

Для решения данной задачи, нам нужно рассмотреть вероятности, связанные с двумя игральными костями: обычной (с гранями от 1 до 6) и особенной (где на гранях только 2 и 5). Мы будем использовать теорему Байеса, чтобы найти вероятность того, что кидали вторую кость, учитывая, что выпали числа 5 и 2. ### Шаг 1: Обозначим события 1. **Событие A**: выбрана вторая кость. 2. **Событие B**: выпали числа 5 и 2 в любом порядке. ### Шаг 2: Найдём необходимые вероятности 1. **P(A)** — вероятность того, что выбрана вторая кость. Поскольку у нас два варианта, это будет: \[ P(A) = \frac{1}{2} \] 2. **P(\neg A)** — вероятность того, что выбрана обычная кость: \[ P(\neg A) = \frac{1}{2} \] 3. **P(B | A)** — вероятность того, что выпали 5 и 2 при условии, что выбрана вторая кость. У второй кости грани только 2 и 5. Возможные комбинации бросков, которые дают 5 и 2, это: - 5, 2 - 2, 5 Всего 2 благоприятных исхода. Поскольку вторая кость имеет 3 грани со значением 2 и 3 грани со значением 5, общее количество всех исходов (при двух бросках) будет \(6 \cdot 6 = 36\). Таким образом: \[ P(B | A) = \frac{2}{9} \] 4. **P(B | \neg A)** — вероятность того, что выпали 5 и 2 при условии, что выбрана обычная кость. У обычной кости есть 6 граней, и каждая грань может выпасть. Пары 5 и 2 можно получить следующим образом (в любом порядке): - (5, 2) - (2, 5) Количество благоприятных исходов для обычной кости также 2, однако общее количество всех исходов при двух бросках составляет \(6 \cdot 6 = 36\): \[ P(B | \neg A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \] ### Шаг 3: Найдём общую вероятность события B Теперь находим общую вероятность события B с использованием формулы полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \neg A) \cdot P(\neg A) \] Подставляем числовые значения: \[ P(B) = \left(\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2}\right) \] Выразим это: \[ P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} \] Для сложения приведем к общему знаменателю (36): \[ P(B) = \frac{4}{36} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36} \] ### Шаг 4: Применение теоремы Байеса Теперь можем найти искомую вероятность \(P(A | B)\): \[ P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} \] Подставляя значения: \[ P(A | B) = \frac{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{36}} \] Сократим: \[ P(A | B) = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{36}{5} = \frac{4}{5} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что кидали вторую кость, равна: \[ \boxed{\frac{4}{5}} \]