Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- ( P(A) ) — вероятность, что Валя посетит театр.
- ( P(B) ) — вероятность, что Маша посетит театр.
- ( P(A \cap B) ) — вероятность, что обе подруги посетят театр.
- ( P(A' \cap B') ) — вероятность, что обе не посетят театр.
Из условия задачи у нас есть следующие данные:
- ( P(A) = 0.69 ) (это 69%, вероятность, что Валя посетит театр).
- ( P(A' \cap B') = 0.3 ) (это 30%, вероятность, что обе не пойдут в театр).
- ( P(A \cap B) = 0.5 ) (это 50%, вероятность, что обе подруги посетят спектакль).
Нам нужно найти вероятность того, что Маша посетит театр, то есть ( P(B) ).
Сначала мы можем использовать формулы вероятности. Мы знаем, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1:
[
P(A \cap B) + P(A \cap B') + P(A' \cap B) + P(A' \cap B') = 1
]
Также можем записать:
[
P(A \cap B) + P(A' \cap B) = P(B)
]
[
P(A \cap B) + P(A \cap B') = P(A)
]
[
P(A' \cap B') = 0.3
]
Основываясь на этих уравнениях, можем выразить другие вероятности через известные.
Используя ( P(A' \cap B') ), мы знаем, что:
[
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.69 = 0.31
]
Теперь, вероятность того, что хотя бы одна подруга не пойдет в театр, можно записать как:
[
P(B') = 1 - P(B)
]
Тогда:
[
P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.69 - 0.5 = 0.19
]
И теперь можем использовать уравнение для ( P(A' \cap B') ):
[
P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B') = 0.31 \cdot (1 - P(B))
]
И знаем, что это равно 0.3, поэтому:
[
0.31 \cdot (1 - P(B)) = 0.3
]
Теперь решим это уравнение:
[
1 - P(B) = \frac{0.3}{0.31}
]
Вычисляя:
[
1 - P(B) = \frac{30}{31} \implies P(B) = 1 - \frac{30}{31} = \frac{1}{31}
]
Теперь найдем ( P(B) ):
[
P(B) = 0.0322580645 \approx 0.0323
]
Умножив на 100, получим процент:
[
P(B) \approx 3.23%
]
Ответ:
3.23
