Диаметр основания прямого кругового конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объём конуса, делённый на П.
Чтобы найти объем конуса, давайте сначала вспомним формулу для объема прямого кругового конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где \( V \) — объем, \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота конуса.
Найдем радиус основания: У нас есть диаметр основания, равный 66. Радиус \( r \) будет равен половине диаметра: \[ r = \frac{66}{2} = 33 \]
Найдем высоту конуса: У нас задан угол при вершине осевого сечения, равный 90°. Это означает, что конус образует равнобедренный треугольник, где обе половины основания при сечении конуса и высота образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрию.
Углы при основании равнобедренного треугольника будут равны \( 45° \) (поскольку \( 90° / 2 = 45° \)). Это значит, что высота \( h \) и радиус основания \( r \) равны между собой в этом треугольнике: \[ h = r = 33 \]
Теперь подставим значения в формулу для объема: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (33^2) (33) = \frac{1}{3} \pi (1089)(33) \]
Сначала вычислим \( 33^2 \): \[ 33^2 = 1089 \]
Теперь умножим: \[ V = \frac{1}{3} \pi (1089 \times 33) \] Вычисляем \( 1089 \times 33 \): \[ 1089 \times 33 = 35937 \]
Подставим значение в объем: \[ V = \frac{1}{3} \pi (35937) \] Теперь поделим \( 35937 \) на 3: \[ 35937 \div 3 = 11979 \]
Получили объем конуса: \[ V = 11979 \pi \]
Наконец, найдём объем конуса, делённый на π: \[ \frac{V}{\pi} = 11979 \]
Таким образом, ответ на задачу — объем конуса, деленный на π, равен 11979.
