Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. Определение размаха ряда
Размах (разница между максимальным и минимальным значением) рассчитывается по следующей формуле:
[ \text{Размах} = \text{Максимальное значение} - \text{Минимальное значение} ]
Шаг 1: Найдем максимальное и минимальное значения.
- Максимальное значение: 7 лет 11 мес.
- Минимальное значение: 5 лет 10 мес.
Шаг 2: Преобразуем эти значения в месяцы для удобства:
- 7 лет 11 мес. = ( 7 \times 12 + 11 = 84 + 11 = 95 ) месяцев
- 5 лет 10 мес. = ( 5 \times 12 + 10 = 60 + 10 = 70 ) месяцев
Шаг 3: Найдем размах.
[
\text{Размах} = 95 - 70 = 25 \text{ месяцев}
]
2. Определение среднего возраста
Средний возраст вычисляется по формуле:
[ \text{Средний возраст} = \frac{\text{Сумма всех значений}}{\text{Количество значений}} ]
Шаг 1: Переведем все возраста в месяцы:
- 7 лет 2 мес. = 86 мес.
- 6 лет 8 мес. = 80 мес.
- 5 лет 10 мес. = 70 мес.
- 7 лет 11 мес. = 95 мес.
- 6 лет 4 мес. = 76 мес.
- 6 лет 9 мес. = 81 мес.
- 7 лет 5 мес. = 89 мес.
- 7 лет 4 мес. = 88 мес.
- 6 лет 8 мес. = 80 мес.
- 6 лет 11 мес. = 83 мес.
- 7 лет 3 мес. = 87 мес.
- 7 лет 5 мес. = 89 мес.
- 6 лет 10 мес. = 82 мес.
- 7 лет = 84 мес.
- 6 лет 5 мес. = 77 мес.
- 6 лет 3 мес. = 75 мес.
- 7 лет 6 мес. = 90 мес.
- 6 лет 8 мес. = 80 мес.
- 6 лет 7 мес. = 79 мес.
Шаг 2: Рассчитаем сумму всех возрастов.
[
\text{Сумма} = 86 + 80 + 70 + 95 + 76 + 81 + 89 + 88 + 80 + 83 + 87 + 89 + 82 + 84 + 77 + 75 + 90 + 80 + 79 = 1557 \text{ месяцев}
]
Шаг 3: Найдем количество значений.
Количество значений = 18 (число учащихся).
Шаг 4: Рассчитаем средний возраст.
[
\text{Средний возраст} = \frac{1557}{18} \approx 86.5 \text{ месяцев}
]
Переведем обратно в годы и месяцы:
86.5 месяцев = 7 лет 2.5 месяца, то есть 7 лет и 15 дней.
3. Вычисление дисперсии и среднее квадратичное отклонение
Шаг 1: Найдем отклонения от среднего значения и их квадраты.
[
\text{Отклонение} = \text{Возраст} - \text{Средний возраст}
]
Находим отклонения и квадрат отклонений:
- Для 7 лет 2 мес. (86) = ( 86 - 86.5 = -0.5 )
- Для 6 лет 8 мес. (80) = ( 80 - 86.5 = -6.5 )
- Для 5 лет 10 мес. (70) = ( 70 - 86.5 = -16.5 )
- Для 7 лет 11 мес. (95) = ( 95 - 86.5 = 8.5 )
- Для 6 лет 4 мес. (76) = ( 76 - 86.5 = -10.5 )
- Для 6 лет 9 мес. (81) = ( 81 - 86.5 = -5.5 )
- И так далее для всех значений.
После этого возьмем квадрат этих отклонений и найдем их сумму.
Шаг 2: Сумма квадратов отклонений:
| Возраст (мес.) |
Отклонение (x_i - x̄) |
(x_i - x̄)² |
| 86 |
-0.5 |
0.25 |
| 80 |
-6.5 |
42.25 |
| 70 |
-16.5 |
272.25 |
| 95 |
8.5 |
72.25 |
| 76 |
-10.5 |
110.25 |
| 81 |
-5.5 |
30.25 |
| 89 |
2.5 |
6.25 |
| 88 |
1.5 |
2.25 |
| 80 |
-6.5 |
42.25 |
| 83 |
-3.5 |
12.25 |
| 87 |
0.5 |
0.25 |
| 89 |
2.5 |
6.25 |
| 82 |
-4.5 |
20.25 |
| 84 |
-2.5 |
6.25 |
| 77 |
-9.5 |
90.25 |
| 75 |
-11.5 |
132.25 |
| 90 |
3.5 |
12.25 |
| 80 |
-6.5 |
42.25 |
| 79 |
-7.5 |
56.25 |
Суммируем все (x_i - x̄)²:
[
\text{Сумма квадратов отклонений} = 0.25 + 42.25 + 272.25 + 72.25 + 110.25 + 30.25 + 6.25 + 2.25 + 42.25 + 12.25 + 0.25 + 6.25 + 20.25 + 6.25 + 90.25 + 132.25 + 12.25 + 42.25 + 56.25 = 776.5
]
Шаг 3: Вычисляем дисперсию:
[
D = \frac{\text{Сумма квадратов отклонений}}{n} = \frac{776.5}{18} \approx 43.14
]
Шаг 4: Среднее квадратичное отклонение:
[
\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{43.14} \approx 6.6 \text{ месяцев}
]
Итог:
- Размах: 25 месяцев.
- Средний возраст: 7 лет 2.5 месяца.
- Дисперсия: примерно 43.14.
- Среднее квадратичное отклонение: примерно 6.6 месяцев.
