Как много элементарных событий в серии из 7 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам

Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии из 7 испытаний Бернулли с 4 успехами, нам необходимо использовать комбинаторику.

Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли

Испытания Бернулли — это независимые испытания, каждое из которых имеет два возможных исхода: "успех" (обозначим его как "1") и "неуспех" (обозначим его как "0"). В данной задаче мы рассматриваем 7 таких испытаний, и нам нужно найти количество способов, которыми мы можем получить ровно 4 успеха.

Шаг 2: Формула для вычисления комбинаций

Количество способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний вычисляется с помощью комбинаций. Формула для вычисления числа комбинаций выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

где:

• \(n\) — общее количество испытаний,
• \(k\) — количество успехов,
• \(n!\) — факториал числа \(n\) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\)),
• \(k!\) — факториал числа \(k\),
• \((n - k)!\) — факториал числа \(n - k\).

Шаг 3: Подставляем значения

В данной задаче \(n = 7\), \(k = 4\). Подставим эти значения в формулу:

\[ C(7, 4) = \frac{7!}{4! \cdot (7 - 4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \]

Теперь вычислим факториалы:

• \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\)
• \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
• \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)

Теперь можем подставить значения:

\[ C(7, 4) = \frac{5040}{24 \cdot 6} = \frac{5040}{144} = 35 \]

Шаг 4: Ответ

Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 4 успехам из 7 испытаний Бернулли, равно 35.

Заключение

Используя комбинации, мы смогли определить, что существует 35 различных способов получить 4 успеха в 7 независимых испытаниях Бернулли.