Вариант 1 1.Найдите координаты и длинувектора b, если b = с/2 - d c{б; -2}, df1; -2}. 2.Напишите уравнение окружности с центром в точке C(2; 1), проходящей через точку D(5; 5). 3.…

Давайте по порядку решим все пункты задачи.

1. Найдите координаты и длину вектора \( \mathbf{b} \), если \( \mathbf{b} = c/2 - d \mathbf{c}\) и \( \mathbf{c} = \{b; -2\}, \mathbf{d} = \{1; -2\} \).

Шаг 1: Понять, что обозначает \( \mathbf{b} \). У нас есть вектор \( \mathbf{c} \) и вектор \( \mathbf{d} \).

Пусть \( \mathbf{c} = \{b; -2\} \) и \( \mathbf{d} = \{1; -2\} \). Нам нужно найти \( \mathbf{b} \).

Шаг 2: Подставить векторные координаты. \[ \mathbf{b} = \frac{1}{2} \mathbf{c} - \mathbf{d} = \frac{1}{2} \{b; -2\} - \{1; -2\} \]

Шаг 3: Расширить выражение. \[ \mathbf{b} = \left\{ \frac{b}{2} - 1; \frac{-2}{2} - (-2) \right\} = \left\{ \frac{b}{2} - 1; -1 + 2 \right\} = \left\{ \frac{b}{2} - 1; 1 \right\} \]

Шаг 4: Найти длину вектора \( \mathbf{b} \). Длина вектора рассчитывается по формуле: \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{ \left(\frac{b}{2} - 1\right)^2 + 1^2 } \]

2. Напишите уравнение окружности с центром в точке C(2; 1), проходящей через точку D(5; 5).

Шаг 1: Найдем радиус окружности, который является расстоянием между центром \( C(2, 1) \) и точкой \( D(5, 5) \).

Расстояние \( r \) между двумя точками вычисляется по формуле: \[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляем координаты: \[ r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 2: Уравнение окружности с центром в \( (x_0, y_0) = (2, 1) \) и радиусом \( r = 5 \) записывается как: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2 \] Таким образом, уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \]

3. Докажите, что четырехугольник MNKP является ромбом и вычислите его периметр.

Шаг 1: Для проверки, является ли четырехугольник ромбом, необходимо сравнить длины всех сторон.

Вершины:

• \( M(2, 2) \)
• \( N(5, 3) \)
• \( K(6, 6) \)
• \( P(3, 5) \)

Шаг 2: Найдем длины сторон. Длина отрезка \( MN \): \[ MN = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Длина отрезка \( NK \): \[ NK = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Длина отрезка \( KP \): \[ KP = \sqrt{(3 - 6)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Длина отрезка \( PM \): \[ PM = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Шаг 3: Все стороны равны \( \sqrt{10} \), значит, \( MNKP \) является ромбом.

Шаг 4: Периметр ромба рассчитывается как \( P = 4 \times \text{длина стороны} \): \[ P = 4 \times \sqrt{10} \]

4. В прямоугольной системе координат даны векторы \( \mathbf{a} = \{3; -2\} \) и \( \mathbf{b} = \{1; -2\} \). Найдите координаты вектора \( \mathbf{c} = 5\mathbf{a} - 9\mathbf{b} \) и его длину. Постройте вектор \( \mathbf{c} \), если известно, что его конец совпадает с точкой \( M(3; 2) \).

Шаг 1: Рассчитаем вектор \( \mathbf{c} \): \[ \mathbf{c} = 5\mathbf{a} - 9\mathbf{b} = 5\{3; -2\} - 9\{1; -2\} = \{15; -10\} - \{9; -18\} \] \[ \mathbf{c} = \{15 - 9; -10 + 18\} = \{6; 8\} \]

Шаг 2: Найдем длину вектора \( \mathbf{c} \): \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Шаг 3: Построим вектор \( \mathbf{c} \) с началом в точке \( M(3, 2) \).

Конец вектора \( \mathbf{c} \) будет находиться в точке \( M + \mathbf{c} = (3 + 6, 2 + 8) = (9, 10) \).

Ответы:

1. Вектор \( \mathbf{b} = \left\{\frac{b}{2} - 1; 1 \right\}\); длина \( |\mathbf{b}| = \sqrt{ \left(\frac{b}{2} - 1\right)^2 + 1^2 } \).
2. Уравнение окружности: \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \).
3. Четырехугольник MNKP является ромбом, периметр \( P = 4\sqrt{10} \).
4. Вектор \( \mathbf{c} = \{6; 8\} \); длина \( |\mathbf{c}| = 10 \); конец вектора находится в точке \( (9, 10) \).