Давайте по порядку решим все пункты задачи.
1. Найдите координаты и длину вектора ( \mathbf{b} ), если ( \mathbf{b} = c/2 - d \mathbf{c}) и ( \mathbf{c} = {b; -2}, \mathbf{d} = {1; -2} ).
Шаг 1: Понять, что обозначает ( \mathbf{b} ). У нас есть вектор ( \mathbf{c} ) и вектор ( \mathbf{d} ).
Пусть ( \mathbf{c} = {b; -2} ) и ( \mathbf{d} = {1; -2} ). Нам нужно найти ( \mathbf{b} ).
Шаг 2: Подставить векторные координаты.
[
\mathbf{b} = \frac{1}{2} \mathbf{c} - \mathbf{d} = \frac{1}{2} {b; -2} - {1; -2}
]
Шаг 3: Расширить выражение.
[
\mathbf{b} = \left{ \frac{b}{2} - 1; \frac{-2}{2} - (-2) \right}
= \left{ \frac{b}{2} - 1; -1 + 2 \right}
= \left{ \frac{b}{2} - 1; 1 \right}
]
Шаг 4: Найти длину вектора ( \mathbf{b} ).
Длина вектора рассчитывается по формуле:
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{ \left(\frac{b}{2} - 1\right)^2 + 1^2 }
]
2. Напишите уравнение окружности с центром в точке C(2; 1), проходящей через точку D(5; 5).
Шаг 1: Найдем радиус окружности, который является расстоянием между центром ( C(2, 1) ) и точкой ( D(5, 5) ).
Расстояние ( r ) между двумя точками вычисляется по формуле:
[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставляем координаты:
[
r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Шаг 2: Уравнение окружности с центром в ( (x_0, y_0) = (2, 1) ) и радиусом ( r = 5 ) записывается как:
[
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2
]
Таким образом, уравнение окружности:
[
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25
]
3. Докажите, что четырехугольник MNKP является ромбом и вычислите его периметр.
Шаг 1: Для проверки, является ли четырехугольник ромбом, необходимо сравнить длины всех сторон.
Вершины:
- ( M(2, 2) )
- ( N(5, 3) )
- ( K(6, 6) )
- ( P(3, 5) )
Шаг 2: Найдем длины сторон.
Длина отрезка ( MN ):
[
MN = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]
Длина отрезка ( NK ):
[
NK = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
]
Длина отрезка ( KP ):
[
KP = \sqrt{(3 - 6)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]
Длина отрезка ( PM ):
[
PM = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
]
Шаг 3: Все стороны равны ( \sqrt{10} ), значит, ( MNKP ) является ромбом.
Шаг 4: Периметр ромба рассчитывается как ( P = 4 \times \text{длина стороны} ):
[
P = 4 \times \sqrt{10}
]
4. В прямоугольной системе координат даны векторы ( \mathbf{a} = {3; -2} ) и ( \mathbf{b} = {1; -2} ). Найдите координаты вектора ( \mathbf{c} = 5\mathbf{a} - 9\mathbf{b} ) и его длину. Постройте вектор ( \mathbf{c} ), если известно, что его конец совпадает с точкой ( M(3; 2) ).
Шаг 1: Рассчитаем вектор ( \mathbf{c} ):
[
\mathbf{c} = 5\mathbf{a} - 9\mathbf{b} = 5{3; -2} - 9{1; -2} = {15; -10} - {9; -18}
]
[
\mathbf{c} = {15 - 9; -10 + 18} = {6; 8}
]
Шаг 2: Найдем длину вектора ( \mathbf{c} ):
[
|\mathbf{c}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
]
Шаг 3: Построим вектор ( \mathbf{c} ) с началом в точке ( M(3, 2) ).
Конец вектора ( \mathbf{c} ) будет находиться в точке ( M + \mathbf{c} = (3 + 6, 2 + 8) = (9, 10) ).
Ответы:
- Вектор ( \mathbf{b} = \left{\frac{b}{2} - 1; 1 \right}); длина ( |\mathbf{b}| = \sqrt{ \left(\frac{b}{2} - 1\right)^2 + 1^2 } ).
- Уравнение окружности: ( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 ).
- Четырехугольник MNKP является ромбом, периметр ( P = 4\sqrt{10} ).
- Вектор ( \mathbf{c} = {6; 8} ); длина ( |\mathbf{c}| = 10 ); конец вектора находится в точке ( (9, 10) ).
