Чтобы найти уравнение касательных к параболе ( y = x^2 - 3x ) в точках с ординатой 4, сначала найдем значения ( x ), при которых ( y = 4 ).
Решим уравнение:
[
x^2 - 3x = 4
]
[
x^2 - 3x - 4 = 0
]
Теперь найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
]
Нахождения корней уравнения:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4
]
[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1
]
Теперь у нас есть две точки на параболе с ординатой 4: ( (4, 4) ) и ( (-1, 4) ).
Далее, найдём производную функции для вычисления углового коэффициента касательной:
[
y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x) = 2x - 3
]
Теперь найдем угловые коэффициенты касательных в найденных точках:
- Для точки ( (4, 4) ):
[
y'(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5
]
Уравнение касательной в точке ( (4, 4) ):
[
y - y_0 = m(x - x_0) \implies y - 4 = 5(x - 4)
]
Раскроем скобки:
[
y - 4 = 5x - 20 \implies y = 5x - 16
]
- Для точки ( (-1, 4) ):
[
y'(-1) = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5
]
Уравнение касательной в точке ( (-1, 4) ):
[
y - 4 = -5(x + 1)
]
Раскроем скобки:
[
y - 4 = -5x - 5 \implies y = -5x - 1
]
В итоге, уравнения касательных к параболе ( y = x^2 - 3x ) в точках с ординатой 4:
- ( y = 5x - 16 )
- ( y = -5x - 1 )
